Bac S 2014 Maths Liban Exercice 2

Enoncé

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.
On considère le plan \mathcal{P} d’équation x - y + 3z + 1 = 0 et la droite \mathcal{D} dont une représentation paramétrique est \begin{cases}x = 2t \\y = 1+ t, t \in \mathbb{R} \\z = -5 + 3t\end{cases}.

On donne les points A(1 ; 1 ; 0), B(3 ; 0 ; -1) et C(7 ; 1 ; -2).

Proposition 1

Une représentation paramétrique de la droite (AB) est \begin{cases}x = 5 - 2t \\y = -1 + t, t \in \mathbb{R} \\z = -2 + t\end{cases}.

Déterminer l’équation paramétrique d’une droite dont on connaît les coordonnées de deux points est un savoir-faire que vous devez absolument maîtriser :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(3-1;0-1;-1-0)
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(2;-1;-1)
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Introduire un point M de coordonnées (x;y;z) appartenant à (AB) et exprimer le fait que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AM}} sont colinéaires.
Deux vecteurs \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{v}} sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k \in \mathbb{R} tel que \overrightarrow{\mathrm{v}} = t\overrightarrow{\mathrm{u}}.

Ici, il faut donc écrire :

Soit M(x;y;z) \in (AB). \overrightarrow{\mathrm{AM}} et \overrightarrow{\mathrm{AB}} sont colinéaires donc il existe k \in \mathbb{R} tel que \overrightarrow{\mathrm{AM}} = k\overrightarrow{\mathrm{AB}}.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Traduire l’égalité vectorielle obtenue à l’étape deux à l’aide des coordonnées.

Pour cela, il faut donc calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AM}} et k\overrightarrow{\mathrm{AB}} :

Bac S 2014 Maths Liban Exercice 2 2014-li-exo2-1
Bac S 2014 Maths Liban Exercice 2 2014-li-exo2-2

puis se souvenir que :

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales.

Donc, ici, étant donné que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AM}} et k\overrightarrow{\mathrm{AB}} sont égaux, on obtient donc :

Bac S 2014 Maths Liban Exercice 2 2014-li-exo2-3

soit :

\begin{cases}x = 1 + 2k \\y = 1 - k \\z = -k\end{cases}
Eh mais attends, ça ne ressemble pas du tout à ce qui est proposé dans l’énoncé, donc l’affirmation est fausse !

Pas si vite ! On a obtenu une représentation paramétrique de la droite (AB). Rien ne nous dit encore que celle proposée par l’énoncé n’est pas valable. Il reste donc une dernière étape avant de pouvoir se prononcer :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Effectuer un changement de variable.

Pour cela, il faut supposer que l’une des coordonnées, exprimée fonction de k, soit égale à l’expression en fonction de t proposée par l’énoncé. Ici, je choisis de faire le changement de variable sur la coordonnée x :

Soit t \in \mathbb{R} tel que 1 + 2k = 5 - 2t.

Ensuite, il faut exprimer k en fonction de t :

On en déduit k = \dfrac{5 - 2t - 1}{2} = \dfrac{4 - 2t}{2} = 2 - t.

Enfin, il faut exprimer les deux autres coordonnées en remplaçant k par son expression en fonction de t :

On obtient :

  • y = 1 - k = 1 - (2 - t) = -1 + t
  • z = -k = -(2 - t) = -2 + t

On peut donc conclure :

Donc \begin{cases}x = 5 - 2t \\y = -1 + t, t \in \mathbb{R}\\z = -2 + t \\\end{cases} est une autre représentation paramétrique de la droite (AB). Elle coïncide avec celle proposée par l’énoncé : la proposition 1 est vraie.

Proposition 2

Les droites \mathcal{D} et (AB) sont orthogonales.

Regardez la figure ci-dessous. Les droites \mathcal{D} et \mathcal{D sont orthogonales :

Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 2 2013-li-exo1-2

Que remarquez-vous sur les vecteurs directeurs \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{u ?

Ils sont aussi orthogonaux, non ?

Tout à fait :

Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Or :

Deux vecteurs de l’espace \overrightarrow{\mathrm{u}}(x;y;z) et \overrightarrow{\mathrm{u sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, c’est-à-dire si et seulement si xx.

Déterminons donc un vecteur directeur pour \mathcal{D} et pour (AB). Et ça, c’est très facile car on dispose de la représentation paramétrique de chacune de ces deux droites :

La droite \mathcal{D} :
  • est une droite de vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{u}}(a;b;c) ;
  • et passe par le point A(x_A;y_A;z_A) ;
  • si et seulement si elle est caractérisée par la représentation paramétrique \begin{cases}x = at + x_A \\y = bt + y_A, t \in \mathbb{R} \\z = ct + z_A\end{cases}.

Cela donne :

Un vecteur directeur de la droite \mathcal{D} est \overrightarrow{\mathrm{u}}(2;1;3). Un vecteur directeur de la droite (AB) est \overrightarrow{\mathrm{u.

Il ne reste plus qu’à calculer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{u :

\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{u donc les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{u sont orthogonaux d’où les droites \mathcal{D} et (AB) sont orthogonales.

On peut alors conclure :

Donc la proposition 2 est vraie.

Proposition 3

Les droites \mathcal{D} et (AB) sont coplanaires.

On vient de montrer que les droites \mathcal{D} et (AB) sont orthogonales. Dans ce cas, il y a deux possibilités :

Bac S 2014 Maths Liban Exercice 2 2014-li-exo2-4

  • Cas 1 : les deux droites ne sont pas sécantes. Elles sont alors non coplanaires ;
  • Cas 2 : les deux droites sont sécantes. Elles sont alors coplanaires.

Déterminons donc l’éventuelle intersection des droites \mathcal{D} et (AB). Pour ce faire, lorsqu’on dispose des représentations paramétriques des deux droites, il faut résoudre le système d’inconnues t et t qui « met en regard » les deux représentations paramétriques, l’une avec l’inconnue t, l’autre avec l’inconnue t :

D’après la question précédente, les droites \mathcal{D} et (AB) sont orthogonales. Par conséquent, elles sont coplanaires si et seulement si elles sont sécantes. Etudions donc l’intersection de ces deux droites :

\begin{cases}2t = 5 - 2t

Normalement, pour déterminer deux inconnues, on n’a besoin que de deux équations. Ici, on en dispose de trois.

Lorsque l’on dispose de plus d’équations que d’inconnues, il s’agit toujours d’adopter la démarche suivante :

  • déterminer les inconnues à partir d’un nombre d’équations suffisant (ici deux) ;
  • vérifier que les solutions déterminées conviennent avec les équations restantes : si elles conviennent, alors elles sont effectivement les solutions du système. Si elles ne conviennent pas, c’est que le système d’équations étudié n’admet pas de solution.

Personnellement, je choisis de déterminer t et t en m’appuyant sur les équations (L_1) et (L_2) et j’examinerai leur conformité sur (L_3) :

... \Leftrightarrow \begin{cases}2(-2 + t

Remplaçons maintenant t = \dfrac{1}{4} et t par leurs valeurs trouvées dans (L_3) :

... \Leftrightarrow \begin{cases}t

Les solutions trouvées en s’appuyant sur les équations (L_1) et (L_2) ne conviennent pas à (L_3) donc le système d’équations n’admet pas de solution :

Le système d’équations n’admet pas de solution.

On en déduit :

Donc les droites \mathcal{D} et (AB) n’admet pas d’intersection

Il ne reste plus qu’à faire le lien avec la coplanérité :

… elles ne sont donc pas coplanaires : la proposition 3 est fausse.

Proposition 4

La droite \mathcal{D} coupe le plan \mathcal{P} au point E de coordonnées (8; -3; -4).

Il faut bien comprendre une chose. C’est que si le point E est le point d’intersection de la droite \mathcal{D} et du plan \mathcal{P}, alors ses coordonnées vérifient à la fois :

  • la représentation paramétrique de la droite \mathcal{D} ;
  • l’équation cartésienne du plan \mathcal{P}.

Il faut donc résoudre le système constitué de toutes ces équations :

\begin{cases}x = 2t \\y = 1 + t \\z = -5 + 3t \\x - y + 3z + 1 = 0\end{cases}

Pour résoudre ce système de 4 équations à 4 inconnues (x, y, z et t), il suffit de remplacer x, y et z par leur expression en fonction de t dans l’équation du plan \mathcal{P} :

... \Rightarrow (2t) - (1 + t) + 3(-5 + 3t) + 1 = 0 \Rightarrow 10t - 15 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{3}{2}

Et ce n’est pas fini. Maintenant que l’on a déterminé t, il faut le remplacer par sa valeur dans les expressions de x, y et z :

D’où \begin{cases}x = 2t = 2 \times \dfrac{3}{2} = 3 \\y = 1 + t = 1 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2} \\z = -5 + 3t = -5 + 3 \times \dfrac{3}{2} = -\dfrac{1}{2}\end{cases}

Il ne reste alors plus qu’à conclure :

D’où l’intersection de la droite \mathcal{D} avec le plan \mathcal{P} a pour coordonnées \left(3 ; \dfrac{5}{2} ; -\dfrac{1}{2}\right) : la proposition est fausse.

Proposition 5

Les plans \mathcal{P} et (ABC) sont parallèles.

Observez la figure ci-dessous :

Bac S 2014 Maths Liban Exercice 2 2014-li-exo2-5

Pour déterminer si deux plans \mathcal{P} et \mathcal{P} sont parallèles, il y a deux méthodes en fonction de ce que l’on dispose :

  • Cas 1 : on dispose d’une équation cartésienne pour chacun des deux plans. Dans ce cas, il faut :
    1. déterminer un vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n}} au plan \mathcal{P} et un vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n au plan \mathcal{P} ;
    2. déterminer si les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n sont colinéaires ou non : s’ils sont colinéaires, les plans \mathcal{P} et  \mathcal{P} sont parallèles.
  • Cas 2 : on dispose d’une équation cartésienne du plan \mathcal{P} et trois points A, B et C du plan \mathcal{P}. Dans ce cas, il faut :
    1. déterminer un vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n}} au plan \mathcal{P} ;
    2. voir si le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}} est orthogonal aux deux vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}.

Ici, on se trouve dans le cas 2. Déroulons donc les différentes étapes nécessaires :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer un vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n}} au plan \mathcal{P}.

Et ça, c’est super facile si vous connaissez une équation cartésienne du plan \mathcal{P} ! En effet :

Soit \mathcal{P} un plan de l’espace et \overrightarrow{\mathrm{n}} un vecteur de l’espace de coordonnées (a;b;c).

\overrightarrow{\mathrm{n}} est un vecteur normal au plan \mathcal{P} si et seulement si \mathcal{P} a une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.

Appliqué ici, cela donne :

Le plan \mathcal{P} d’équation x - y + 3z + 1 = 0 a pour vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n}}(1 ; -1 ; 3).
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Déterminer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}.

Pour cela, nous aurons besoin du rappel de cours suivant :

Soit A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B) deux points de l’espace. Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour coordonnées \overrightarrow{\mathrm{AB}}(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A).

Donc ici, on peut écrire :

\overrightarrow{\mathrm{AB}}(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(3-1;0-1;-1-0)
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(2;-1;-1)

\overrightarrow{\mathrm{AC}}(x_C-x_A;y_C-y_A;z_C-z_A)
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(7-1;1-1;-2-0)
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(6;0;-2)

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Calculer les produits scalaires \overrightarrow{\mathrm{n}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{n}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}} :

  • si ces produits scalaires sont tous les deux nuls, \overrightarrow{\mathrm{n}} est orthogonal à \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} : les plans \mathcal{P} et \mathcal{P} sont parallèles ;
  • sinon, les plans \mathcal{P} et \mathcal{P} ne sont parallèles.

A nouveau, le cours va nous être utile :

Soient \overrightarrow{\mathrm{u}}(x;y;z) et \overrightarrow{\mathrm{v}}(x deux vecteurs de l’espace.
\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{v}} = xx.

Ici, cela donne donc :

\overrightarrow{\mathrm{n}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}} = 1 \times 2 + (-1) \times (-1) + 3 \times (-1) = 2 + 1 - 3 = 0 et \overrightarrow{\mathrm{n}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}} = 1 \times 6 + (-1) \times 0 + 3 \times (-2) = 6 + 0 - 6 = 0.
Donc \overrightarrow{\mathrm{n}} est orthogonal aux vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}

D’où la conclusion :

d’où les plans \mathcal{P} et (ABC) sont parallèles : la proposition est vraie.

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Maths Liban Exercice 2.

Exprimez vous!