Bac S 2014 Maths Polynésie Exercice 1

Enoncé

Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points A(5 ; -5 ; 2), B(-1 ; 1 ; 0), C(0 ; 1 ; 2) et D(6 ; 6 ; -1).

Question 1

Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire.

Calculons les longueurs BC, BD et CD. Cela nous permettra de :

  • voir directement si le triangle est isocèle ou pas ;
  • voir si le triangle est rectangle ou pas en appliquant le théorème de Pythagore ;
  • calculer facilement son aire s’il est rectangle.

Pour cela, je rappelle que :

Soient A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B) deux points de l’espace.
AB = ||\overrightarrow{\mathrm{AB}}|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}.

Donc ici, cela donne :

BC = ||\overrightarrow{\mathrm{BC}}|| = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2} = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (1 - 1)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5}
BD = ||\overrightarrow{\mathrm{BD}}|| = \sqrt{(x_D - x_B)^2 + (y_D - y_B)^2 + (z_D - z_B)^2} = \sqrt{(6 - (-1))^2 + (6 - 1)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{49 + 25 + 1} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}
CD = ||\overrightarrow{\mathrm{CD}}|| = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 + (z_D - z_C)^2} = \sqrt{(6 - 0)^2 + (6 - 1)^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{36 + 25 + 9} = \sqrt{70}

On peut alors remarquer que :

Donc BC^2 + CD^2 = 5 + 70 = 75 = BD^2 d’où, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle BCD est rectangle en C.

L’aire du triangle BCD est donc facile à calculer puisque je rappelle que :

L’aire d’un triangle rectangle est égal au produit des deux « petits » côtés divisé par deux.

Ici, cela donne :

D’où l’aire du triangle BCD vaut :
\mathcal{A}_{BCD} = \dfrac{BC \times CD}{2} = \dfrac{\sqrt{5} \times \sqrt{70}}{2} = \dfrac{\sqrt{350}}{2} = \dfrac{5\sqrt{14}}{2}.

Question 2

a. Montrer que le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}}\begin{pmatrix}-2 \\3 \\1\end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (BCD).

Pour répondre à cette question, il faut savoir que :

Un vecteur est normal à un plan si et seulement s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

N’aurait-on pas deux vecteurs non colinéaires à notre disposition ? :p

Ah bah si ! Les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{BC}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}} ! Ils sont forcément non colinéaires puisqu’ils sont orthogonaux !

Exactement ! Donc, il suffit de prouver que le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}} est orthogonal aux vecteurs \overrightarrow{\mathrm{BC}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}}.

Faisons donc d’abord remarquer que \overrightarrow{\mathrm{BC}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}} sont deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD) :

\overrightarrow{\mathrm{BC}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}} sont deux vecteurs orthogonaux donc non colinéaires du plan (BCD).

Puis calculons les produits scalaires \overrightarrow{\mathrm{n}}.\overrightarrow{\mathrm{BC}} et \overrightarrow{\mathrm{n}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}} :

\overrightarrow{\mathrm{n}}.\overrightarrow{\mathrm{BC}} = -2 \times 1 + 3 \times 0 + 1 \times 2 = 0
\overrightarrow{\mathrm{n}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}} = -2 \times 6 + 3 \times 5 + 1 \times (-3) = 0

On peut alors conclure :

Donc le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD) d’où \overrightarrow{\mathrm{n}} est un vecteur normal au plan (BCD).

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).

Donner une équation cartésienne d’un plan alors qu’on en connaît :

  • un vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n}}(a;b;c) ;
  • un point A(x_A;y_A;z_A) appartenant à ce plan ;

est un savoir-faire simple que vous devez maîtriser. Ici, c’est bien sûr le plan (BCD) qui joue le rôle du plan \mathcal{P} et quant à un point appartenant à ce plan, on a le choix entre B, C et D. Personnellement, je choisis le point B.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Indiquer que puisque le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}}(a;b;c) est normal au plan \mathcal{P}, alors le plan \mathcal{P} admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d.

Cette étape exploite le rappel de cours suivant :

Dans un repère orthonormal :

  • réciproquement, a, b, c et d étant quatre réels donnés avec a, b et c non tous nuls, l’ensemble des points M de coordonnées (x;y;z) tels que ax + by + cz + d = 0 est un plan de vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{u}}(a;b;c).

Ici, on peut donc écrire :

Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}} de coordonnées (-2 ; 3 ; 1) est normal au plan (BCD) donc une équation cartésienne de (BCD) est -2x + 3y + z + d = 0, où d est un réel à déterminer.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Exprimer le fait que le point A choisi appartient au plan \mathcal{P} pour déterminer d.

Cette fois-ci, on utilise l’élément de cours suivant :

Soit \mathcal{P} un plan de l’espace d’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 et A(x_A;y_A;z_A) un point de l’espace.
A \in \mathcal{P} si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation du plan \mathcal{P}, c’est-à-dire si et seulement si ax_A + by_A + cz_A + d = 0.

Cela donne :

De plus :
B(-1;1;0) \in (BCD) \Leftrightarrow -2x_B + 3y_B + z_B + d = 0

\Leftrightarrow -2 \times (-1) + 3 \times 1 + 0 + d = 0

\Leftrightarrow d = -5
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure sur une équation cartésienne du plan \mathcal{P}.
Donc une équation cartésienne du plan (BCD) est -2x + 3y + z - 5 = 0.
Pourquoi est-ce que tu dis toujours « une équation » du plan et non pas « l’équation » ?

Car il en existe une infinité ! Si je multiplie à gauche et à droite l’équation que nous avons obtenue par un nombre réel quelconque, la nouvelle équation convient toujours ! Par exemple, -4x + 6y + 2z - 10 = 0 est aussi une équation du plan (BCD).


Question 3

Déterminer une représentation paramétrique de la droite \mathcal{D} orthogonale au plan (BCD) et passant par le point A.

Déterminer une représentation paramétrique d’une droite lorsque l’on connaît les coordonnées :

  • d’un vecteur directeur de cette droite ;
  • d’un point appartenant à cette droite ;

est immédiat si on sait que :

La droite \Delta :
  • est une droite de vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{u}}(a;b;c) ;
  • et passe par le point A(x_A;y_A;z_A) ;
  • si et seulement si elle est caractérisée par la représentation paramétrique \begin{cases}x = at + x_A \\y = bt + y_A, t \in \mathbb{R} \\z = ct + z_A\end{cases}.

Oui mais attends, on ne connaît pas de vecteur directeur de la droite \mathcal{D}

Si ! On en connaît un ! Regardez la figure suivante. J’y ai représenté :

  • la droite \mathcal{D} orthogonale au plan (BCD) ;
  • le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}} normal au plan (BCD) ;
  • le point H, intersection du plan (BCD) et de la droite \mathcal{D} et le tétraèdre ABCD (ça, c’est pour les questions suivantes :p).

Que remarquez-vous ?

Bac S 2014 Maths Polynésie Exercice 1 2014-po-exo1-2

Ah d’accord ! Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}} est un vecteur directeur de la droite \mathcal{D} !

Exactement ! On peut donc écrire :

Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}} est normal au plan (BCD) donc c’est un vecteur directeur de la droite \mathcal{D}, orthogonale au plan (BCD). De plus, la droite \mathcal{D} passe par le point A de coordonnées A(5 ; -5 ; 2) donc une représentation paramétrique de \mathcal{D} est :
\begin{cases}x = -2t + 5 \\y = 3t - 5, t \in \mathbb{R} \\z = t + 2\end{cases}.

Question 4

Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite \mathcal{D} et du plan (BCD).

Il faut bien comprendre une chose. C’est que si le point H est le point d’intersection de la droite \mathcal{D} et du plan (BCD), alors ses coordonnées vérifient à la fois :

  • la représentation paramétrique de la droite \mathcal{D} ;
  • l’équation cartésienne du plan (BCD) que nous avons trouvée à la question 2. b.

Il faut donc résoudre le système constitué de toutes ces équations :

\begin{cases}x = -2t + 5 \\y = 3t - 5 \\z = t + 2 \\-2x + 3y + z - 5 = 0\end{cases}

Pour résoudre ce système de 4 équations à 4 inconnues (x, y, z et t), il suffit de remplacer x, y et z par leur expression en fonction de t dans l’équation du plan (BCD) :

... \Rightarrow -2(-2t + 5) + 3(3t - 5) + (t + 2) - 5 = 0 \Rightarrow 14t - 28 = 0 \Rightarrow t = 2

Et ce n’est pas fini. Maintenant que l’on a déterminé t, il faut le remplacer par sa valeur dans les expressions de x, y et z :

D’où \begin{cases}x = -2t + 5 = -2 \times 2 + 5 = 1 \\y = 3t - 5 = 3 \times 2 - 5 = 1 \\z = t + 2 = 2 + 2 = 4 \\\end{cases}

Il ne reste alors plus qu’à conclure sur H :

D’où le point H a pour coordonnées (1 ; 1 ; 4).

Question 5

Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.
On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times h, où \mathcal{B} est l’aire d’une base du tétraèdre et h la hauteur correspondante.

Il y a une chose que vous devez avoir compris après avoir fait les 4 premières questions.

La droite \mathcal{D} = (AH) est orthogonale au plan (BCD) et passe par le point A donc elle est la hauteur correspondant à la base (BCD) du tétraèdre. D’ailleurs, cela se voit bien sur la figure que j’ai faite pour la question 3.

Du coup, on a tout « en main » pour calculer l’aire du tétraèdre ABCD. En effet, dans la formule rappelée par l’énoncé :

  • l’aire du triangle BCD joue le rôle de \mathcal{B} ;
  • la longueur AH joue le rôle de d.

On peut donc écrire :

L’aire du tétraèdre ABCD vaut :
\mathcal{A}_{ABCD} = \dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times h = \dfrac{1}{3}\mathcal{A}_{BCD} \times AH

Or :

  • l’aire \mathcal{A}_{BCD} du triangle BCD, on l’a déjà calculée à la question 1 ;
  • et la longueur AH, on peut appliquer la formule rappelée à la question 1 puisque l’on dispose des coordonnées des points A et H.

Calculons donc la longueur AH :

Or AH = \sqrt{(x_H - x_A)^2 + (y_H - y_A)^2 + (z_H - z_A)^2} = \sqrt{(1 - 5)^2 + (1 - (-5))^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{16 + 36 + 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}

On peut alors conclure sur l’aire du tétraèdre ABCD :

D’où l’aire du tétraèdre ABCD vaut :
\mathcal{A}_{ABCD} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{5\sqrt{14}}{2} \times 2\sqrt{14} = \dfrac{5 \times 14}{3} = \dfrac{70}{3}.

Question 6

On admet que AB = \sqrt{76} et AC = \sqrt{61}.
Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l’angle \widehat{BAC}.

Personnellement, dès que je vois le mot « angle » dans un exercice de géométrie dans l’espace de Terminale S, je pense à ce théorème :

Soient \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}} deux vecteurs de l’espace.
\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}} = AB \times CD \times cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{CD}}) où l’angle orienté (\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{CD}}) est exprimé en radians.

Mais attention, la formule fait intervenir, non pas un angle géométrique, mais un angle orienté, exprimé en radians. Ici, il s’agit donc de calculer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}} en appliquant la formule ci-dessus pour faire apparaître l’angle orienté correspondant à l’angle géométrique \widehat{BAC}, à savoir (\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AC}}) :

\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}} = AB \times AC \times cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AC}}) d’où cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AC}}) =  \dfrac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{AB \times AC}.

L’énoncé donne les valeurs des longueurs AB et AC. Si on avait également la valeur du produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}, on pourrait en déduire la valeur de cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AC}}) et donc de l’angle (\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AC}}) à l’aide de la calculatrice…

C’est là qu’une autre formule va nous être utile :

Soient \overrightarrow{\mathrm{u}}(x;y;z) et \overrightarrow{\mathrm{v}}(x deux vecteurs de l’espace.
\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{v}} = xx.

Comme vous pouvez le constater, nous avons besoin des coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} :

\overrightarrow{\mathrm{AB}}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(-1 - 5 ; 1 - (-5) ; 0 - 2)
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(-6 ; 6 ; -2)

\overrightarrow{\mathrm{AC}}(x_C - x_A ; y_C - y_A ; z_C - z_A)
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(0 - 5 ; 1 - (-5) ; 2 - 2)
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(-5 ; 6 ; 0)

On en déduit alors :

D’où \overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}} = -6 \times (-5) + 6 \times 6 + (-2) \times 0 = 30 + 36 + 0 = 66.

Cela nous permet de dire que :

Donc cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AC}}) =  \dfrac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{AB \times AC} = \dfrac{66}{\sqrt{76} \times \sqrt{61}}.

Il ne reste plus qu’à se servir de la calculatrice pour déterminer la valeur de l’angle \widehat{BAC} après avoir réglé la calculatrice en degrés :

Bac S 2014 Maths Asie Exercice 1 2014-as-exo1-1Bac S 2014 Maths Polynésie Exercice 1 2014-po-exo1-3

On peut donc conclure :

Donc l’angle \widehat{BAC} mesure 14,2° au dixième de degré près.

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Maths Polynésie Exercice 1.

Exprimez vous!