Bac S 2014 Maths Polynésie Exercice 2 Obl

Enonce

On considère la suite (u_n) définie par

u_0 = 0 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = u_n + 2n + 2.

Question 1

Calculer u_1 et u_2.

L’exercice commence de façon tout à fait classique avec le calcul de quelques premiers termes. Pour cela, il faut bien sûr utiliser la formule qui définit la suite (u_n) par récurrence :

u_1 = u_0 + 2 \times 0 + 2 = 0 + 0 + 2 = 2
u_2 = u_1 + 2 \times 1 + 2 = 2 + 2 + 2 = 6

Question 2

On considère les deux algorithmes suivants :

Bac S 2014 Maths Polynésie Exercice 2 Obl 2014-po-exo2-1

De ces deux algorithmes, lequel permet d’afficher en sortie la valeur de u_n, la valeur de l’entier naturel n étant entrée par l’utilisateur ?

Pour répondre à cette question, raisonnons comme si nous devions nous-mêmes écrire l’algorithme en partant de rien.

  1. Tout d’abord, il nous faudrait déclarer deux variables :
    • la première variable, n, va contenir le rang de la suite demandé par l’utilisateur. Le rang étant un entier naturel, n va contenir un entier naturel donc il doit être défini comme un entier naturel.
    • la seconde variable, u, va contenir les différents termes de la suite. Comme (u_n) est une suite réelle, u va contenir des valeurs réelles : il doit donc être défini comme un réel. Bien sûr, cette variable ne contient qu’un seul terme à la fois. Si un nouveau terme vient remplacer le précédent, ce dernier est « écrasé » et « perdu à jamais » ;
  2. On passe ensuite à l’initialisation des variables qui ont été créées à l’étape 1. La question que l’on doit se poser est la suivante : « Avec quelles valeurs est-ce que je souhaite commencer à dérouler mon algorithme ? » :
    • puisque l’algorithme permet de calculer le n-ième terme de la suite (u_n), la variable n doit être initialisée avec la valeur que va saisir l’utilisateur. D’où l’instruction « Saisir la valeur de n » qui signifie que l’algorithme attend que l’utilisateur saisisse une valeur et que c’est cette valeur qui va être stockée dans n ;
    • quant à u, puisqu’elle contient les valeurs de la suite, elle doit bien sûr être initialisée avec la première valeur de la suite, à savoir  0 . Vous remarquerez qu’ici, l’énoncé fait quelque chose qui n’est pas « classique » et qui ne correspond pas forcément aux « bonnes pratiques » puisque, pour les deux algorithmes proposés, il initialise la variable u dans la phase de traitement.
  3. Passons maintenant à la phase de traitement.

    L’idée, c’est de calculer un par un les termes de la suite u_n du rang 1 au rang n en utilisant une boucle « Pour » en écrasant à chaque fois la valeur de la variable u. Tout l’objet de cette question 2 est de savoir entre quelles bornes on doit dérouler les instructions que l’on va faire figurer dans cette boucle.

    Quand je faisais de la programmation informatique et que je décidais de faire appel à une boucle « Pour », je déterminais toujours les instructions à mettre à l’intérieur avant de déterminer entre quelles bornes les exécuter. Je vais donc garder mes anciennes habitudes ici. :)

    Supposons que la valeur de u_i est stockée dans la variable u (car on a dit que u contenait les valeurs de la suite (u_n)). A partir du terme u_i, comment est-ce que j’obtiens u_{i+1} ?

    Il suffit d’appliquer la relation de récurrence indiquée dans l’énoncé, non ?

    Exactement : u_{i+1} = u_i + 2i + 2.

    Or, u contient la valeur de u_i dans l’algorithme donc, u_{n+1} s’écrit de la façon suivante en fonction des variables : u_{i+1} = u + 2i + 2. Ainsi, si u contient la valeur du terme de rang i, pour remplacer sa valeur par le terme de rang suivant, il suffit de lui affecter la valeur correspondant à u + 2i + 2. D’où l’instruction « u prend la valeur u + 2i + 2 » qui figure dans les deux algorithmes proposés !

    Maintenant que nous avons déterminé « l’intérieur » de la boucle « Pour », on peut s’intéresser à ses bornes d’exécution.

    Considérons les bornes proposées par l’algorithme 1, 1 et n. Les termes extrêmes calculés seront alors les suivants :

    • 0 + 2 \times 1 + 2, c’est-à-dire u_0 + 2 \times 1 + 2 pour le premier terme u_1 ;
    • [\text{valeur contenue dans u \`a la n-i\`eme it\, c’est-à-dire u_{n-1} \text{[selon l pour le dernier terme qui est censé être u_n.

    Cela ne convient pas : u_1 est censé être égal à u_0 + 2 \times 0 + 2 et u_n est censé être égal à u_{n-1} + 2 \times (n-1) + 2.

    En revanche, si on prend les bornes proposées par l’algorithme 2, à savoir  0 et n-1, on obtient :

    • 0 + 2 \times 0 + 2, c’est-à-dire u_0 + 2 \times 0 + 2 pour le premier terme u_1 ;
    • [\text{valeur contenue dans u \`a la n-i\`eme it\, c’est-à-dire u_{n-1} \text{[selon l pour le dernier terme u_n.

    Cette fois-ci, c’est bon : on respecte bien la formule de récurrence pour les termes u_0 et u_n.

  4. Enfin, une fois sortis de la boucle « Pour », il nous reste à afficher le contenu de la variable u qui contient alors la valeur de u_n : cela se fait via l’instruction « Afficher u ».

En réfléchissant sur l’algorithme nécessaire au calcul du n-ième terme de la suite (u_n)n est un entier naturel saisi par l’utilisateur, on a donc déterminé le bon algorithme :

L’instruction située à l’intérieur de la boucle « Pour » doit être exécutée n fois entre les bornes  0 et n-1. Le bon algorithme est donc l’algorithme 2.

Question 3

À l’aide de l’algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où n figure en abscisse et u_n en ordonnée.

Bac S 2014 Maths Polynésie Exercice 2 Obl 2014-po-exo2-2

a. Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite (u_n) ?
Démontrer cette conjecture.

Conjecturer le sens de variation d’une suite, c’est dire si elle est croissante ou décroissante « à vue de nez » :

D’après le nuage de points fourni par l’énoncé, la suite (u_n) semble être croissante.

Maintenant, tâchons de le démontrer rigoureusement. Pour cela, il faut savoir que :

Une suite de nombres réels (u_n) est croissante (respectivement décroissante) si et seulement si elle vérifie l’une ou l’autre des propriétés suivantes :

  • u_{n+1} - u_n \geq 0 (respectivement u_{n+1} - u_n \leq 0) ;
  • \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1 (respectivement \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1)
Ah mais s’il y a deux formules possibles, comment puis-je savoir laquelle utiliser ?

C’est une bonne question ! Personnellement, si la suite étudiée est un produit de facteurs ou un quotient, je privilégie la deuxième formule, sinon, j’utilise la première formule.

Ici, nous n’avons à faire ni à un produit de facteurs, ni à un quotient, donc on va utiliser la première formule :

u_{n+1} - u_n = u_n + 2n + 2 - u_n = 2n + 2.

Il ne reste plus qu’à indiquer le signe de cette différence pour conclure :

Or, pour tout n entier naturel, 2n + 2 \geq 0 donc la suite (u_n) est croissante.

b. La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l’existence de trois réels a, b et c tels que, pour tout entier naturel n, u_n = an^2 + b_n + c.
Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a, b et c à l’aide des informations fournies.

On cherche trois inconnues a, b et c donc il faut trois équations à notre disposition (si on cherche quatre inconnues, il en faudrait quatre etc etc.). Ici, ça tombe bien, l’énoncé nous donne de quoi établir treize équations. Vous voyez de quoi je parle ?

Les treize valeurs du nuage de points ?

Exactement ! Mais comme je vous l’ai dit, trois valeurs nous suffiront. Ici, on va utiliser le fait que \begin{cases}u_0 = 0 \\u_1 = 2 \\u_2 = 6\end{cases}.

D’après l’énoncé, on a :
\begin{cases}u_0 = 0 \\u_1 = 2 \\u_2 = 6\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a \times 0^2 + b \times 0 + c = 0 \\a \times 1^2 + b \times 1 + c = 2 \\a \times 2^2 + b \times 2 + c = 6\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}c = 0 \\a + b + c = 2 \\4a + 2b + c = 6\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}c = 0 ~~~~~~~~~(L_1) \\a + b = 2 ~~~~(L_2) \\4a + 2b = 6 ~(L_3)\end{cases}

Il ne reste plus qu’à résoudre ce système de trois équations :

... \Leftrightarrow \begin{cases}c = 0 ~~~~~~~~(L_1) \\2b = 2 ~~~~~~(4L_2 - L_3) \\-2a = -2 ~(2L_2 - L_3)\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a = 1 \\b = 1 \\c = 0\end{cases}

On peut alors conclure sur l’expression de u_n en fonction de n :

Donc, pour tout n entier naturel, u_n = n^2 + n.

Question 4

On définit, pour tout entier naturel n, la suite (v_n) par : v_n = u_{n+1} - u_n.

a. Exprimer v_n en fonction de l’entier naturel n. Quelle est la nature de la suite (v_n) ?

Ah bah c’est facile ! Il suffit de calculer v_n = u_{n+1} - u_n en exploitant l’expression de u_n que l’on voit de trouver !

Effectivement, procéder ainsi convient. Mais il y a encore plus simple ! Utilisons la relation de récurrence qui définit la suite (u_n) :

Par définition, pour tout n entier naturel, u_{n+1} = u_n + 2n + 2 donc u_{n+1} - u_n = 2n + 2 soit v_n = 2n + 2.

La forme de v_n doit absolument vous rappeler les éléments de cours suivants :

Soit k un entier naturel.

  • Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r.
    Pour tout n entier naturel, u_n = u_k + (n-k)r.
  • Soit (v_n) une suite géométrique de raison q.
    Pour tout n entier naturel, v_n = v_k q^{n-k}.

Ici, on voit que v_n est de la forme v_k + (n-k)r avec :

  • k = 0 ;
  • r = 2.

donc on peut répondre sur la nature de la suite (v_n) que :

Donc (v_n) est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme v_0 = 2.

b. On définit, pour tout entier naturel n, S_n = \sum\limits_{k=0}^{n} v_k = v_0 + v_1 + ... + v_n.
Démontrer que, pour tout entier naturel n, S_n = (n+1)(n+2).

Une fois que vous avez repéré que la suite (v_n) était une suite arithmétique, cette question devient simple.En effet, il s’agit ici de calculer la somme de n+1 termes consécutifs de la suite (v_n), et ça, votre cours vous donne les outils pour :

  • Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r. La somme de N termes consécutifs de la suite (u_n) vaut :
    S_n = N \times \dfrac{\text{1er terme + dernier terme}}{2}
  • Soit (v_n) une suite géométrique de raison q, q \neq 1. La somme de N termes consécutifs de la suite (v_n) vaut :
    S_n = 1er~terme \times \dfrac{1 - q^N}{1-q}

Ici, (_n) est arithmétique donc on va utiliser la première formule avec :

  • n+1 qui joue le rôle de N puisque la somme comporte n+1 termes ;
  • v_0 = 2 pour le premier terme ;
  • v_n pour le dernier terme.
S_n est la somme de n+1 termes consécutifs de la suite (v_n) et de premier terme v_0 = 2 donc :
S_n = (n+1)\dfrac{v_0 + v_n}{2} = (n+1)\dfrac{\overbrace{2}^{v_0} + \overbrace{2n + 2}^{v_n}}{2} = (n+1)\dfrac{2n + 4}{2}
 
= (n+1)\dfrac{2(n + 2)}{2} = (n+1)(n+2).

c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, S_n = u_{n+1} - u_0, puis exprimer u_n en fonction de n.

Il faut bien comprendre ici l’esprit du sujet : après nous avoir demandé de d’exprimer S_n en fonction de n à la question précédente, on nous demande cette fois-ci d’exprimer S_n en fonction de termes de la suite (u_n). Le but, c’est de nous permettre ensuite d’exprimer u_n en fonction de n.

Donc, écrivons simplement ce qu’est S_n par définition (« par définition » = « tel que l’énoncé l’a défini ») :

Pour tout n entier naturel, on a :
S_n = v_0 + v_1 + ... + v_n

Si on remplace les termes v_n par leur expression en fonction de u_n, on peut voir que presque tous les termes se simplifient :

Bac S 2014 Maths Polynésie Exercice 2 Obl 2014-po-exo2-3

On aboutit bien à ce que l’on voulait démontrer :

... = u_{n+1} - u_0.

Il ne reste plus qu’à exprimer u_{n} en fonction de n en exploitant ce que l’on vient de montrer sur S_n :

On en déduit :

u_{n+1} = S_n + u_0

 
\Leftrightarrow \underbrace{u_n + 2n + 2}_{u_{n+1}} = \underbrace{(n+1)(n+2)}_{S_n} + \underbrace{0}_{u_0}
 
\Leftrightarrow u_n = (n+1)(n+2) - 2n - 2
 
\Leftrightarrow u_n = n^2 + 2n + n + 2 - 2n - 2
 
\Leftrightarrow u_n = n^2 + n

Et là, ce qu’il faut absolument vérifier, c’est que l’expression de u_n est identique à celle obtenue à la question 3. b : c’est effectivement le cas.

En effet, toute l’idée de l’exercice est de trouver l’expression de u_n de deux façons. Il faut donc s’assurer que ce que nous écrivons sur notre copie est cohérente. D’ailleurs, ce n’est pas obligatoire mais cela est du meilleur effet de le faire remarquer sur la copie :

On peut remarquer que l’expression que nous venons de déterminer de u_n est bien identique à celle trouvée à la question 3. b.

Si vous avez fait cet exercice seul et que vous nous trouvez pas la même expression de u_n, posez-vous des questions…

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Maths Polynésie Exercice 2 Obl.

Exprimez vous!