Bac S 2014 Maths Polynésie Exercice 3

Enoncé

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

Question 1

Zoé se rend à son travail à pied ou en voiture. Là où elle habite, il pleut un jour sur quatre.
Lorsqu’il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans 80 % des cas.
Lorsqu’il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à 0,6.

Affirmation n°1 :
« Zoé utilise la voiture un jour sur deux. ».

Cette question demande un peu d’initiative car il faut penser soi-même à construire un arbre pondéré en introduisant les bons événements…

L’énoncé introduit d’abord une information qui correspond à la façon dont Zoé se rend à son travail :

Zoé se rend à son travail à pied ou en voiture.

On peut donc introduire un événement V :

On note V l’événement « Zoé se rend à son travail en voiture ».

Cela veut dire implicitement que l’on note \overline{V} l’événement « Zoé se rend à son travail à pied », puisque lorsqu’elle se rend à son travail à pied, elle ne s’y rend pas en voiture !

Puis, l’énoncé introduit une deuxième information qui va conditionner la probabilité de l’événement V :

Là où elle habite, il pleut un jour sur quatre.

On va donc introduire l’événement P : « Il pleut ».

On note P l’événement « Il pleut ».

De plus, on peut calculer la probabilité p(P). En effet :

On considère un événement E. Un cas est dit favorable lorsque l’événement E est observé.

Par ailleurs, p(E) = \dfrac{nombre~de~cas~favorables}{nombre~de~cas~possibles}.

Ici, sur quatre jours (= « nombre de cas possibles »), il pleut un jour (= « nombre de cas favorables ») donc :

On a p(P) = \dfrac{1}{4} = 0,25.

Ainsi, on peut commencer notre arbre pondéré :

Bac S 2014 Maths Polynésie Exercice 3 2014-po-exo3-1
Hum… Je vois d’où vient le 0,25 puisqu’on vient d’en parler. Mais d’où vient le 0,75 ?

Bonne question ! Elle vient du fait que :

Sur un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches partant d’un même noeud doit valoir 1.

Ici, on a donc p(\overline{P}) = 1 - 0,25 = 0,75.

Poursuivons la construction de l’arbre pondéré :

Lorsqu’il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans 80 % des cas.

Il s’agit clairement d’une probabilité conditionnelle : sachant qu’il pleut, la probabilité que Zoé se rende à son travail en voiture est de \dfrac{80}{100} = 0,8. Cela donne donc :

Bac S 2014 Maths Polynésie Exercice 3 2014-po-exo3-2
Le 0,2, il vient du fait qu’à nouveau, la somme des probabilités des branches partant d’un même noeud doit valoir 1, non ?

Exactement ! Je vois que ça commence à rentrer ! :)

Lorsqu’il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à 0,6.

Cette fois-ci, il s’agit d’une probabilité conditionnelle sur l’événement \overline{P} :

Bac S 2014 Maths Polynésie Exercice 3 2014-po-exo3-3

Maintenant que l’arbre pondéré est terminé, on va pouvoir l’exploiter ! :p

Ce que l’on veut, c’est voir si p(V) est bien égal à 0,5 (= « un jour sur deux »).

Pour calculer la probabilité d’un événement à partir d’un arbre de probabilité, il suffit d’additionner les probabilités de chacun des chemins qui « mène » à cet événement.

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.

Ici, nous allons donc sommer les probabilités de deux chemins :

Bac S 2014 Maths Polynésie Exercice 3 2014-po-exo3-4

Ici, on peut donc écrire :

En exploitant l’arbre pondéré, on obtient que la probabilité que Zoé se rende à son travail en voiture vaut :
p(V) = \underbrace{0,25 \times 0,8}_{\text{chemin 1}} + \underbrace{0,75 \times 0,4}_{\text{chemin 2}} = 0,5.

D’où la conclusion :

Donc Zoé se rend bien au travail en voiture un jour sur deux : l’affirmation est vraie.

Question 2

Dans l’ensemble E des issues d’une expérience aléatoire, on considère deux événements A et B.

Affirmation n°2 :
« Si A et B sont indépendants, alors A et \overline{B} sont aussi indépendants. »

Oh la belle question de cours ! Non seulement vous devez savoir que cette affirmation est vraie, mais en plus, vous devez savoir le démontrer car cette démonstration fait partie des démonstrations exigibles au programme !

La preuve de cette propriété repose sur la définition même de l’indépendance de deux événements A et B :

Soient deux événements A et B tels que P(A) \neq 0 et P(B) \neq 0.
On dit que les événements A et B sont indépendants si et seulement si P_B(A) = P(A).

Bien sûr, les événements A et B sont interchangeables : A et B sont aussi indépendants si P_A(B) = P(B).

Ici, on a donc le choix : il s’agit de prouver que P_A(\overline{B}) = P(\overline{B}) ou que P_{\overline{B}}(A) = P(A). Sachant que :

  • P(\overline{A}) = 1 - P(A)
  • P_B(\overline{A}) = 1 - P_B(A)

je vais prendre la première solution et montrer que P_A(\overline{B}) = P(\overline{B}) :

P_A(\overline{B}) = 1 - P_A(B).

Exploitons l’hypothèse de l’énoncé :

Or, par hypothèse, les événements A et B sont indépendants donc P_A(B) = P(B) d’où P_A(\overline{B}) = 1 - P(B)

Le rappel de cours ci-dessus nous est utile une seconde fois :

... = P(\overline{B})

On peut alors conclure :

Donc les événements A et \overline{B} sont indépendants : l’affirmation est vraie.

Question 3

On modélise le temps d’attente, exprimé en minutes, à un guichet, par une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,7.

Affirmation n°3 :
« La probabilité qu’un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est 0,7 environ. »

A nouveau, le cours va nous être utile :

Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda, et a un réel positif ou nul.
P(X \leq a) = \int_{0}^{a} \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \left[-e^{-\lambda x}\right]^{a}_{0} = 1 - e^{-\lambda a}.

Ici, on cherche la probabilité que le temps d’attente modélisé par la variable aléatoire T soit supérieur à cinq minutes. Il s’agit donc de calculer p(T \geq 5).

Zut ! La formule donne les probabilités de la forme p(X \leq a) et non pas celles de la forme P(X \geq a) !

C’est vrai. Mais cela n’est pas un problème si on sait également que :

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle et a un réel positif ou nul.
P(X \geq a) = 1 - P(X \leq a).

Ainsi, on peut écrire :

La probabilité que le temps d’attente modélisé par la variable aléatoire T soit supérieur à cinq minutes vaut :
p(T \geq 5) = 1 - p(T \leq 5) = 1 - (1 - e^{-0,7 \times 5}) = 0,03.

On peut donc conclure :

Donc la probabilité que le temps d’attente soit au moins de 5 minutes vaut 0,03 : l’affirmation est fausse.

Affirmation n°4 :
« Le temps d’attente moyen à ce guichet est de sept minutes. »

Oh la jolie question de cours ! 😀

Soit X une variable aléatoire.

  • son espérance E(X) correspond à sa valeur moyenne ;
  • si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda, E(X) = \dfrac{1}{\lambda}.

Ici, on peut donc écrire :

T suit une loi exponentielle de paramètre \lambda = 0,7 donc le temps moyen d’attente au guichet vaut :
E(T) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0,7} = 1,4 minutes.

D’où la conclusion sur l’affirmation :

Donc l’affirmation est fausse.

Question 4

On sait que 39 % de la population française est du groupe sanguin A+.
On cherche à savoir si cette proportion est la même parmi les donneurs de sang.
On interroge 183 donneurs de sang et parmi eux, 34 % sont du groupe sanguin A+.

Affirmation n°5 :
« On ne peut pas rejeter, au seuil de 5 %, l’hypothèse selon laquelle la proportion de personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de 39 % comme dans l’ensemble de la population. »

Il s’agit de voir si la proportion de personnes du groupe sanguin A+ observé sur l’échantillon confirme la proportion annoncée de 39% sur l’ensemble de la population. Et pour cela, nous allons utiliser l’intervalle de fluctuation au seuil de 95%. C’est une question on ne peut plus classique !

Tout d’abord, apprenez par coeur ceci :

Soient X_n une variable aléatoire qui suit une loi binomiale \mathcal{B}(n,p) et F_n = \dfrac{X_n}{n} la variable aléatoire qui représente la fréquence des succès. Si

  • n \ge 30
  • np \ge 5
  • n(1 - p) \ge 5

alors l’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F_n au seuil de 95 % vaut I_n = \left[p-1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}};p+1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right].

Et maintenant, voici la démarche pour répondre à cette question :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Repérer une épreuve de Bernoulli dans la situation proposée et indiquer quel événement constitue le « succès ». Introduire alors la variable aléatoire X pour représenter le nombre de succès.
Interroger une personne est une expérience aléatoire qui ne compte que deux issues possibles : « la personne est du groupe sanguin A+ », de probabilité estimée p = 0,39 ou « la personne n’est pas du groupe sanguin A+ », de probabilité 1 - p = 1 - 0,39 = 0,61. Il s’agit donc d’une épreuve de Bernoulli dont le succès est l’événement « la personne est du groupe sanguin A+ ». On pose X la variable aléatoire qui représente le nombre de succès.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Remarquer que cette épreuve de Bernoulli est répétée dans des conditions d’indépendance et en déduire que nous nous trouvons donc dans le cadre d’un schéma de Bernoulli.
Ici, on interroge 183 personnes donc cela peut être assimilé à 183 répétitions de l’épreuve de Bernoulli dans des conditions d’indépendance : il s’agit alors d’un schéma de Bernoulli.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} En déduire que X suit une loi binomiale dont les paramètres sont :

  • n, où n est le nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli ;
  • p, où p est la probabilité de l’événement qui a été désigné comme « succès ».
Donc X suit une loi binômiale de paramètres n = 183 et p = 0,39.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Vérifier que les conditions requises à l’application de la formule de l’intervalle de fluctuation à 95 % sont remplies, à savoir :
  • n \ge 30
  • np \ge 5
  • n(1 - p) \ge 5

Aucune difficulté ici, une fois que l’on a déterminé les paramètres de la loi binomiale :

Or :
  • n = 183 \ge 30
  • np = 183 \times 0,39 = 71,37 \ge 5
  • n(1 - p) = 183 \times (1 - 0,39) = 111,63 \ge 5
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Conclure sur l’intervalle de fluctuation.
Donc l’intervalle de fluctuation de la proportion de personnesde groupe sanguin A+ vaut I = \left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}};p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right] = [0,319 ; 0,461].
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{6}}} Calculer la fréquence des succès dans l’échantillon considéré. Si elle appartient à l’intervalle de fluctuation, alors l’estimation (= la probabilité annoncée pour les succès) est considérée comme exacte. Sinon, elle est considérée comme inexacte.

Ici, la fréquence des succès est donnée par l’énoncé. Elle est de 34 %. Il suffit donc de regarder si cette fréquence appartient à l’intervalle de fluctuation :

Sur l’échantillon de 183 personnes, 34% sont de groupe sanguin A+. Or 0,34 \in I.

D’où la conclusion à cette partie :

Donc on ne peut pas rejeter, au seuil de 5 %, l’hypothèse selon laquelle la proportion de personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de 39 % comme dans l’ensemble de la population : l’affirmation est vraie.

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Maths Polynésie Exercice 3.

Exprimez vous!