Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 1

Enoncé

Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.

Question 1

La durée de vie, exprimée en années, d’un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre \lambda, où \lambda est un réel strictement positif.
On sait que P(X \leq 2) = 0,15.
Déterminer la valeur exacte du réel \lambda.

L’exercice commence par une simple question de cours. L’idée est de voir si vous savez ceci :

Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda, et a un réel positif ou nul.
P(X \leq a) = \int_{0}^{a} \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \left[-e^{-\lambda x}\right]^{a}_{0} = 1 - e^{-\lambda a}.

Ici, on peut donc écrire :

P(X \leq 2) = 0,15 donc, étant donné que X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda, cela signifie que 1 - e^{-2\lambda} = 0,15.

Il ne reste plus qu’à résoudre l’équation obtenue, d’inconnue \lambda :

On a donc :

1 - e^{-2\lambda} = 0,15
 

\Leftrightarrow e^{-2\lambda} = 1 - 0,15
 
\Leftrightarrow e^{-2\lambda} = 0,85

Pour se débarrasser de l’exponentielle, il faut appliquer le logarithme népérien. En effet :

Pour tout x \in \mathbb{R}, ln~(e^x) = x

Cela donne :

\Leftrightarrow ln~\left(e^{-2\lambda}\right) = ln~0,85
 
\Leftrightarrow -2\lambda = ln~0,85
 
\Leftrightarrow \lambda = -\dfrac{ln~0,85}{2}

Pour information, en valeur approchée, cela donne 0,081… Je dis ça, je dis rien…


Dans la suite de l’exercice on prendra 0,081 pour valeur de \lambda.

Question 2

a. Déterminer P(X \geq 3).

Zut ! La formule de cours rappelée ci-dessus donne les probabilités de la forme P(X \leq a) et non pas celles de la forme P(X \geq a) !

C’est vrai. Mais cela n’est pas un problème si on sait également que :

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle et a un réel positif ou nul.
P(X \geq a) = 1 - P(X \leq a).

Ainsi, on peut écrire :

P(X \geq 3) = 1 - p(X \leq 3) = 1 - (1 - e^{-0,081 \times 3}) = 0,78.

b. Montrer que pour tous réels positifs t et h, P_{X \geq t}(X \geq t+h) = P(X \geq h).

On cherche ici à calculer une probabilité conditionnelle. Qui dit « probabilité conditionnelle » dit :

p_A(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}

Ici, cela donne :

P_{X \geq t}(X \geq t+h) = \dfrac{P((X \geq t+h) \cap (X \geq t))}{P(X \geq t)}
Oh mais il est horrible le numérateur !

Pas de panique, il n’est pas si horrible que ça. Observez la figure ci-dessous :

Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 1 2014-p-exo1-1

Comme vous pouvez le voir, lorsque X est à la fois supérieur à t et à t + h, il est tout simplement supérieur à t + h. Donc P((X \geq t+h) \cap (X \geq t)) = P(X \geq t+h). On peut donc poursuivre le calcul de la façon suivante :

... = \dfrac{P(X \geq t+h)}{P(X \geq t)}

Or, on sait parfaitement exprimer les probabilités qui restent :

  • P(X \geq t+h) = 1 - P(X \leq t+h) = 1 - (1 - e^{-\lambda(t+h)}) = e^{-\lambda(t+h)} ;
  • P(X \geq t) = 1 - P(X \leq t) = 1 - (1 - e^{-\lambda t}) = e^{-\lambda t}.

D’où :

... = \dfrac{1 - (1 - e^{-\lambda(t+h)})}{1 - (1 - e^{-\lambda t})} = \dfrac{e^{-\lambda(t+h)}}{e^{-\lambda t}}

Les e^{-\lambda t} se simplifient :

... = e^{-\lambda h}

Et e^{-\lambda h}, ce n’est rien d’autre que P(X \geq h) !

... = P(X \geq h).

c. Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu’il fonctionne encore 2 ans ?

Cette question survient après avoir démontré que pour tous réels positifs t et h, P_{X \geq t}(X \geq t+h) = P(X \geq h). Vous devez donc obligatoirement vous demander comment on peut appliquer cette formule.

Pour cela, reformulons l’énoncé : quelle est la probabilité que la durée de vie du moteur soit supérieure ou égale à 5 ans, sachant qu’elle a été égale, et donc, supérieure ou égale, à 3 ans ? Autrement dit, il s’agit de calculer P_{X \geq 3}(X \geq 5), soit, pour « coller » à la formule de la question précédente, P_{X \geq 3}(X \geq 3+2).

Ainsi écrite, la probabilité à calculer est bien de la forme P_{X \geq t}(X \geq t+h) avec :

  • 3 qui joue le rôle de t ;
  • 2 qui joue le rôle de h.

On peut donc appliquer cette formule de la façon suivante :

La probabilité que le moteur fonctionne encore 2 ans alors qu’il a déjà fonctionné durant 3 ans vaut :
P_{X \geq 3}(X \geq 5) = P_{X \geq 3}(X \geq 3+2) = P(X \geq 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - (1 - e^{-0,081 \times 2}) = e^{-0,081 \times 2} = 0,85.

d. Calculer l’espérance de la variable aléatoire X et donner une interprétation de ce résultat.

Ceci est une question de cours. Elle cherche à vérifier que vous savez que :

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre \lambda. L’espérance de X vaut :
E(X) = \dfrac{1}{\lambda}.

Donc il faut écrire :

L’espérance de la variable aléatoire X vaut :
E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0,081} = 12,35.

Pour pouvoir interpréter le résultat, il faut savoir que :

L’espérance d’une variable aléatoire correspond à la valeur moyenne de la grandeur qu’elle représente.

Ici, la variable aléatoire X représente la durée de vie du moteur donc son espérance correspond à la durée de vie moyenne du moteur :

Donc la durée de vie moyenne d’un moteur est de 12,35 années.

Question 3

Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à 10^{-3}.

L’entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1%. Afin de vérifier cette affirmation 800 moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux.
Le résultat de ce test remet-il en question l’annonce de l’entreprise A ? Justifier. On pourra s’aider d’un intervalle de fluctuation.

Soyons clairs. Lorsque l’énoncé dit que :

On pourra s’aider d’un intervalle de fluctuation.

…ce n’est pas une suggestion ! C’est un ordre ! 😀 Ca tombe bien, l’utilisation d’un intervalle de fluctuation est une question classique dont la démarche est toujours la même.

Tout d’abord, apprenez par coeur ceci :

Soient X_n une variable aléatoire qui suit une loi binomiale \mathcal{B}(n,p) et F_n = \dfrac{X_n}{n} la variable aléatoire qui représente la fréquence des succès. Si

  • n \ge 30
  • np \ge 5
  • n(1 - p) \ge 5

alors l’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F_n au seuil de 95 % vaut I_n = \left[p-1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}};p+1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right].

Et maintenant, voici la démarche pour répondre à cette question :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Repérer une épreuve de Bernoulli dans la situation proposée et indiquer quel événement constitue le « succès ». Introduire alors la variable aléatoire X pour représenter le nombre de succès.
Prélever un moteur est une expérience aléatoire qui ne compte que deux issues possibles : « le moteur est défectueux », de probabilité estimée p = 0,01 ou « le moteur n’est pas défectueux », de probabilité 1 - p = 1 - 0,01 = 0,99. Il s’agit donc d’une épreuve de Bernoulli dont le succès est l’événement « le moteur est défectueux ». On pose X la variable aléatoire qui représente le nombre de succès.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Remarquer que cette épreuve de Bernoulli est répétée dans des conditions d’indépendance et en déduire que nous nous trouvons donc dans le cadre d’un schéma de Bernoulli.
Ici, on prélève au hasard 800 moteurs donc cela peut être assimilé à 800 répétitions de l’épreuve de Bernoulli dans des conditions d’indépendance : il s’agit alors d’un schéma de Bernoulli.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} En déduire que X suit une loi binomiale dont les paramètres sont :

  • n, où n est le nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli ;
  • p, où p est la probabilité de l’événement qui a été désigné comme « succès ».
Donc X suit une loi binômiale de paramètres n = 800 et p = 0,01.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Vérifier que les conditions requises à l’application de la formule de l’intervalle de fluctuation à 95 % sont remplies, à savoir :
  • n \ge 30
  • np \ge 5
  • n(1 - p) \ge 5

Aucune difficulté ici, une fois que l’on a déterminé les paramètres de la loi binomiale :

Or :
  • n = 800 \ge 30
  • np = 800 \times 0,01 = 8 \ge 5
  • n(1 - p) = 800 \times (1 - 0,01) = 792 \ge 5
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Conclure sur l’intervalle de fluctuation.
Donc l’intervalle de fluctuation de la proportion de moteurs défectueux vaut I = \left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}};p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right] = [0,003 ; 0,017].
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{6}}} Calculer la fréquence des succès dans l’échantillon considéré. Si elle appartient à l’intervalle de fluctuation, alors l’estimation (= la probabilité annoncée pour les succès) est considérée comme exacte. Sinon, elle est considérée comme inexacte.

Ici, cela donne :

Ici, 15 moteurs sont défectueux sur les 800 moteurs prélevés donc la fréquence des succès vaut \dfrac{15}{800} = 0,019. Or 0,019 \notin I.

D’où la conclusion à cette question :

Donc la probabilité annoncée par l’entreprise A est remise en question par le résultat de ce test.

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 1.

Exprimez vous!