Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 2

Enoncé

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.
Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

Question 1

Proposition 1
Toute suite positive croissante tend vers +\infty.

Personnellement, lorsque je lis cette proposition, je me dis qu’elle a de grandes chances d’être fausse. Pourquoi ? Parce qu’elle me rappelle le théorème suivant :

Toute suite croissante et non majorée diverge vers +\infty.

Ce théorème :

  • ne mentionne pas de notion de positivité : elle est donc vraie que la suite soit positive ou non ;
  • mais surtout, elle impose une contrainte très forte : il faut que la suite, en plus d’être croissante, soit non majorée. Or, la proposition de l’énoncé enlève cette contrainte, ce qui doit nous rendre particulièrement suspicieux…

Pour montrer qu’une proposition est fausse, il est assez courant de chercher un contre-exemple qui, bien qu’il respecte les hypothèses de l’affirmation, ne vérifie pas sa conclusion.

Je vous propose le contre-exemple suivant :

Soit (u_n) une suite réelle définie par, pour tout n entier naturel non nul, u_n = 2014 - \dfrac{1}{n}.

Vérifions d’abord que cette suite respecte les hypothèses de l’énoncé.

  • (u_n) est positive
Pour tout n entier naturel non nul, \dfrac{1}{n} \leq 2014 donc 2014 - \dfrac{1}{n} \geq 0 d’où la suite (u_n) est positive.

  • (u_n) est croissante

Pour étudier la monotonie d’une suite, le cours nous rappelle que :

Une suite de nombres réels (u_n) est croissante (respectivement décroissante) si et seulement si elle vérifie l’une ou l’autre des propriétés suivantes :

  • u_{n+1} - u_n \geq 0 (respectivement u_{n+1} - u_n \leq 0) ;
  • \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1 (respectivement \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1)
Ah mais s’il y a deux formules possibles, comment puis-je savoir laquelle utiliser ?

C’est une bonne question ! Personnellement, si la suite étudiée est un produit de facteurs ou un quotient, je privilégie la deuxième formule, sinon, j’utilise la première formule.

Ici, nous n’avons à faire ni à un produit de facteurs, ni à un quotient, donc on va utiliser la première formule :

De plus, pour tout n entier naturel non nul, on a :
u_{n+1} - u_n = (2014 - \dfrac{1}{n+1}) - (2014 - \dfrac{1}{n}) = -\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n}

Or :

Pour tout n entier naturel non nul, \dfrac{1}{n+1} \leq \dfrac{1}{n} donc -\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n} \geq 0 d’où u_{n+1} - u_n \geq 0 donc (u_n) est croissante.

Donc (u_n) vérifie bien les hypothèses de la proposition.

Et pourtant…

Or, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \dfrac{1}{n} = 0 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_n = 2014.

On peut donc conclure :

Donc la suite (u_n) est positive et croissante mais elle ne tend pas vers +\infty : la proposition est fausse.

Question 2

g est la fonction définie sur \left]-\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[ par :

g(x) = 2x ln(2x+1).

Proposition 2
Sur \left]-\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[, l’équation g(x) = 2x a une unique solution : \dfrac{e-1}{2}.

Cette question comporte un ENORME piège ! Voici ce que l’on serait tenté d’écrire :

g(x) = 2x

 
\Leftrightarrow 2x ln(2x+1) = 2x
 
\Leftrightarrow ln(2x+1) = 1
 
\Leftrightarrow 2x+1 = e
 
\Leftrightarrow x = \dfrac{e-1}{2}

Une erreur subtile est insérée dans ces lignes. En effet, pour passer de 2x ln(2x+1) = 2x à ln(2x+1) = 1, il faut diviser par 2x. Or, cela n’est possible que si x est différent de  0 ! Donc il faut bien préciser « Pour tout x \neq 0 » :

Pour tout x \neq 0, on a :

g(x) = 2x

 
\Leftrightarrow 2x ln(2x+1) = 2x
 
\Leftrightarrow ln(2x+1) = 1
 
\Leftrightarrow 2x+1 = e
 
\Leftrightarrow x = \dfrac{e-1}{2}

Et si j’insiste dessus, c’est parce qu’il faut voir ce qui se passe pour x = 0 :

Pour x = 0 :

  • g(x) = g(0) = 2 \times 0 \times ln(0 + 1) = 0 ;
  • 2x = 2 \times 0 = 0.

Donc pour x = 0, g(x) = 2x :  0 est aussi solution de l’équation g(x) = 2x.

On peut donc conclure :

Ainsi \dfrac{e-1}{2} et  0 sont solutions de l’équation g(x) = 2x sur l’intervalle \left]-\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[.

Autrement dit, l’équation g(x) = 2x n’admet pas une unique solution sur \left]-\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[, mais deux solutions :

Donc la proposition est fausse.

Proposition 3
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d’abscisse \dfrac{1}{2} est : 1+ln~4.

Je vous rappelle que :

L’équation de la tangente à la courbe \mathcal{C}_g au point d’abscisse a est y = g.

Ainsi, le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a est g. Calculons donc la dérivée de g afin de déterminer le coefficient directeur de la tangente à \mathcal{C}_g en \dfrac{1}{2}. Pour ça, il faut connaître la dérivée de la fonction logarithme népérien :

(ln~u).

On en tire :

Pour tout x \in \left]-\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[, g. Donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathcal{C}_g en \dfrac{1}{2} vaut :
g
Lorsque l’on calcule la dérivée, est-ce si important d’écrire « Pour tout x \in \left]-\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[ » ?

La réponse est oui. En toute rigueur, avant de calculer quelle que dérivée que ce soit, vous devriez déterminer l’ensemble de définition de cette dérivée. Il se trouve que ce savoir-faire n’est pas exigible. Du coup, l’énoncé vous indique l’ensemble de définition de la dérivée (ici, \left]-\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[). Il convient donc de rappeler au correcteur que vous êtes conscient(e) que vos calculs ne sont valables que sur l’ensemble de définition de la dérivée.

OK. Et donc, la proposition est fausse, non ? On obtient 2ln~2 au lieu de ln~4

La proposition n’est pas fausse pour autant ! En effet, il faut savoir que :

Pour tout a \in \mathbb{R}_+^* et n entier naturel, ln~(a^n) = n ln~a.

Ainsi, 2ln~2 = ln(2^2) = ln~4 donc on peut poursuivre le calcul de la façon suivante :

... = ln~4

D’où la conclusion :

Donc la proposition est vraie.

Question 3

L’espace est muni d’un repère orthonormé (O;\overrightarrow{\mathrm{i}};\overrightarrow{\mathrm{j}};\overrightarrow{\mathrm{k}}).
\mathcal{P} et \mathcal{R} sont les plans d’équations respectives : 2x + 3y - z - 11 = 0 et x + y + 5z - 11 = 0.

Proposition 4
Les plans \mathcal{P} et \mathcal{R} se coupent perpendiculairement.

Observez la figure ci-dessous :

Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 2 2014-p-exo2-1

J’y ai représenté deux plans orthogonaux \mathcal{P} et \mathcal{R} et leurs vecteurs normaux \overrightarrow{\mathrm{n_P}} et \overrightarrow{\mathrm{n_R}}. Que remarquez-vous ?

Les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{n_P}} et \overrightarrow{\mathrm{n_R}} sont orthogonaux non ?

Exactement ! Pour voir si les plans \mathcal{P} et \mathcal{R} se coupent perpendiculairement ou non, il suffit donc de voir si leurs vecteurs normaux \overrightarrow{\mathrm{n_P}} et \overrightarrow{\mathrm{n_R}} sont orthogonaux. Ainsi, il faut :

  • déterminer un vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n_P}} au plan \mathcal{P} ;
  • déterminer un vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n_R}} au plan \mathcal{R} ;
  • calculer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{n_P}}.\overrightarrow{\mathrm{n_R}}. S’il est nul, alors les plans \mathcal{P} et \mathcal{R} se coupent perpendiculairement. Sinon, ils ne sont pas perpendiculaires.

Or, il est facile de déterminer un vecteur normal à un plan lorsque l’on connaît une équation cartésienne de ce plan :

Soit \mathcal{P} un plan de l’espace d’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0.
Un vecteur normal au plan \mathcal{P} est le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}} de coordonnées (a;b;c).

Une équation cartésienne du plan \mathcal{P} est 2x + 3y - z - 11 = 0 donc, si on compare au rappel de cours :

  • 2 joue le rôle de a ;
  • 3 joue le rôle de b ;
  • -1 joue le rôle de c ;
  • (et -11 joue le rôle de d mais on n’en a pas besoin).

donc un vecteur normal au plan \mathcal{P} est le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n_P}} de coordonnées (2;3;-1). On peut donc écrire :

Un vecteur normal au plan \mathcal{P} est le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n_P}} de coordonnées (2;3;-1).

On détermine exactement de la même façon un vecteur normal au plan \mathcal{R} :

Un vecteur normal au plan \mathcal{R} est le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n_R}} de coordonnées (1;1;5).

Calculons donc le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{n_P}}.\overrightarrow{\mathrm{n_R}}. A nouveau, le cours va nous être utile. Vous devez absolument y penser lorsque vous voulez calculer un produit scalaire en connaissant les coordonnées des vecteurs considérés :

Soient \overrightarrow{\mathrm{u}}(x;y;z) et \overrightarrow{\mathrm{v}}(x deux vecteurs de l’espace.
\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{v}} = xx.

Ici, cela donne :

Donc \overrightarrow{\mathrm{n_P}}.\overrightarrow{\mathrm{n_R}} = 2 \times 1 + 3 \times 1 + (-1) \times 5 = 2 + 3 - 5 = 0.

On peut donc conclure :

Les vecteurs normaux \overrightarrow{\mathrm{n_P}} et \overrightarrow{\mathrm{n_R}} sont donc orthogonaux d’où les plans \mathcal{P} et \mathcal{R} sont orthogonaux : la proposition est vraie.

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 2.

Exprimez vous!