Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 3 Obl

Enoncé

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O;\overrightarrow{\mathrm{u}};\overrightarrow{\mathrm{v}}).
Pour tout entier naturel n, on note A_n le point d’affixe z_n défini par :

z_0 = 1 et z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_n.

On définit la suite (r_n) par r_n = |z_n| pour tout entier naturel n.

Question 1

Donner la forme exponentielle du nombre complexe \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i.

Je suis un peu perdu entre la forme algébrique, la forme exponentielle et la forme trigonométrique…

OK ! Petit rappel :

Soit  z = a + ib . On note \rho et  \theta respectivement son module et son argument.

  • Notation algébrique :  z = a + ib
  • Notation trigonométrique :  z = \rho (\cos \theta + i \sin \theta)
  • Notation exponentielle :  z = \rho e^{i\theta}

Le passage de la forme algébrique à la forme exponentielle est un savoir-faire qu’il faut maîtriser. Je vais donc détailler chacune des étapes :

 \textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer le module \rho de z.

Pour cela, il suffit de se souvenir que :

Soit  z = a + ib . Le module de z vaut  \rho = \sqrt{a^2 + b^2} .

Pour z = \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i, c’est \dfrac{3}{4} qui joue le rôle de a et \dfrac{\sqrt{3}}{4} qui joue le rôle de b :

Soit \rho le module de z = \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i. On a :
\rho = \sqrt{ \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 } = \sqrt{\dfrac{9}{16} + \dfrac{3}{16}} = \sqrt{\dfrac{12}{16}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Déterminer l’argument  \theta de z qui vérifie le système d’équations
 \left\lbrace \begin{array}{c}\cos \theta = \dfrac{x}{\rho} \\\sin \theta = \dfrac{y}{\rho}\end{array}\right.
Soit \theta l’argument de z = \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i. On a :
\left\lbrace \begin{array}{c}\cos \theta = \dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\\\\sin \theta = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2}\end{array}\right.

Il ne reste plus qu’à trouver le « bon » \theta dont les valeurs de cosinus et de sinus sont celles ci-dessus. Pour cela, je vous invite retenir le schéma suivant :

Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 3 2014-fm-exo3-1
Pour chaque angle qui figure sur ce schéma, son abscisse x correspond à la valeur du cosinus de cet angle tandis que son ordonnée y correspond à la valeur du sinus de cet angle.

En ayant bien ce schéma en tête, on trouve aisément que la valeur de  \theta qui convient est  \dfrac{\pi}{6} :

Donc \theta = \dfrac{\pi}{6} [2 \pi] .
Pourquoi as-tu rajouté [2\pi] après  \dfrac{\pi}{6} ?

Le [2\pi] est là pour signaler que  \theta = \dfrac{\pi}{6} + k \times 2\pi , quel que soit k entier relatif, conviendrait aussi (car quel que soit k, on se trouverait au même endroit sur le cercle trigonométrique).

 \textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure en indiquant que  z = \rho e^{i\theta} si c’est la forme exponentielle que l’on souhaite obtenir ou que  z = \rho(\cos \theta + i \sin \theta) si c’est la forme trigonométrique que l’on souhaite obtenir.

Ici, c’est la forme exponentielle que l’on souhaite obtenir. Ayant trouvé le module et l’argument de z, on peut conclure :

D’où  z = \dfrac{\sqrt{3}}{2} e^{\dfrac{i \pi}{6}}.

Question 2

a. Montrer que la suite (r_n) est géométrique de raison \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Lorsque l’on demande de prouver qu’une suite est géométrique, il faut tout de suite avoir le réflexe suivant :

Pour montrer que (r_n) est une suite géométrique, il suffit de montrer que \dfrac{r_{n+1}}{r_n} = q, où q est une constante qui ne dépend pas de n.

Calculons donc \dfrac{r_{n+1}}{r_n} :

Pour tout n entier naturel, \dfrac{r_{n+1}}{r_n} = \dfrac{|z_{n+1}|}{|z_n|}

Pour continuer, la définition par récurrence de la suite (z_n) va nous être utile :

Or, z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_n donc |z_{n+1}| = \left|\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_n\right|

Sachant que :

Soient a et b deux nombres complexes.
|ab| = |a| \times |b|

on peut alors écrire :

... = \left|\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right| \times |z_n| d’où \dfrac{|z_{n+1}|}{|z_n|} = \left|\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right|

Ca tombe bien ! On a calculé \left|\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right| à la question 1. !

... = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

On peut alors conclure :

D’où \dfrac{r_{n+1}}{r_n} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} donc (r_n) est une suite géométrique de raison \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

b. En déduire l’expression de r_n en fonction de n.

Ayant prouvé que la suite (r_n) était géométrique de raison \dfrac{\sqrt{3}}{2}, il est facile d’en donner une expression en fonction de n. En effet, votre cours vous indique que :

Soit k un entier naturel.

  • Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r.
    Pour tout n entier naturel, u_n = u_k + (n-k)r.
  • Soit (v_n) une suite géométrique de raison q.
    Pour tout n entier naturel, v_n = v_k q^{n-k}.

Autrement dit, r_n = r_0 \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n mais on pourrait également écrire r_n = r_1 \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n-1} ou encore r_n = r_2 \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n-2} etc. Dans l’immense majorité des cas, il faut exprimer r_n en fonction de son terme initial. L’énoncé ne précisant rien, c’est ce que l’on va faire ici :

D’après la question précédente, (r_n) est une suite géométrique de raison \dfrac{\sqrt{3}}{2} donc on a r_n = r_0 \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n = |z_0| \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n

z_0 valant 1 et étant donc un nombre réel, son module est très facile à obtenir puisque :

Le module d’un nombre réel, c’est lui-même.

Donc on peut poursuivre le calcul de la façon suivante :

... = 1 \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n.

c. Que dire de la longueur OA_n lorsque n tend vers +\infty ?

La question que vous devez vous poser, c’est « quel est le lien entre cette question et les questions précédentes ? ». Autrement dit, quel est le lien entre la longueur OA_n et r_n ? Et à cette question, le cours apporte une réponse :

Soit A un point du plan d’affixe z.
On a : OA = |z_n|.

Or, pour tout entier naturel n, A_n a pour affixe z_n donc OA_n = |z_n| = r_n :

Pour tout entier naturel n, A_n a pour affixe z_n donc OA_n = |z_n| = r_n.

Il s’agit donc de la calculer la limite de la suite r_n. Cette limite est facile à déterminer si on sait que :

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~q^n =\begin{cases}+\infty ~\text{si q ~\textgreater ~1} \\1 ~\text{si q = 1} \\0 ~\text{si -1 \textless ~q \textless ~1}\end{cases}

Cela nous permet d’écrire que :

Or -1 \textless ~\dfrac{\sqrt{3}}{2} ~\textless ~1 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n = 0 d’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~r_n = 0.

On peut alors conclure :

Donc la longueur OA_n tend vers  0 quand n tend vers +\infty.

Question 3

On considère l’algorithme suivant :

Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 3 Obl 2014-p-exo3-1

a. Quelle est la valeur affichée par l’algorithme pour P = 0,5 ?

Voyons ce que valent chacune des variables au fur et à mesure que l’on déroule l’algorithme.

  1. Déclaration des variables

    Ici, l’énoncé déclare trois variables :

    • la première variable, n, va contenir le rang de la suite demandé par l’utilisateur. Le rang étant un entier naturel, n va contenir un entier naturel donc il doit être défini comme un entier naturel.
    • la deuxième variable, R, va contenir les différents termes de la suite (r_n). Comme (r_n) est une suite réelle, R va contenir des valeurs réelles : il doit donc être défini comme un réel. Bien sûr, cette variable ne contient qu’un seul terme à la fois. Si un nouveau terme vient remplacer le précédent, ce dernier est « écrasé » et « perdu à jamais » ;
    • la troisième variable, P, va contenir le réel saisi par l’utilisateur. C’est la variable dont il est le moins évident de trouver à quoi elle va servir. Je vais anticiper la question suivante, mais en fait, l’idée de l’algorithme est la suivante : l’algorithme invite l’utilisateur à saisir une valeur réelle P et affiche en sortie le rang à partir duquel les termes de la suite (r_n) sont inférieurs à ce réel P.
       
      Comment sais-tu si facilement à quoi sert cet algorithme ??

      A force d’en voir ! Alors vous pourriez me dire « oui bah c’est facile pour toi ! En tant qu’ingénieur, tu maîtrises bien, les algorithmes ! ». Franchement, même sans être ingénieur, j’aurais trouvé aussi rapidement : au moment j’écris ceci, j’ai corrigé et publié sur ce site 13 sujets complets (soit 65 exercices) et je peux vous dire que les algorithmes que l’on vous soumet se ressemblent quand même pas mal ! Il s’agit quasiment toujours d’une suite réelle, avec une histoire de rang… Donc en vous entraînant sur des annales, vous finirez vous aussi à repérer très vite à quoi servent les algorithmes des énoncés du bac !

      Lorsque l’on déclare des variables, aucune valeur ne leur est affectée. A ce stade de l’algorithme, on ne peut donc indiquer aucune valeur :

      Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 3 Obl 2014-p-exo3-2

      Pourquoi as-tu ajouté une colonne R ~\textgreater ~P ?

      Bonne question ! Comme on le verra après, c’est parce que c’est de cette condition que va dépendre l’arrêt ou non de la phase de traitement.

  2. Entrée

    Passons à la phase « Entrée ». Elle est assez peu courante. En général, si vous regarder les sujets de 2013 et 2014, en général, on parle de la phase d’initialisation des variables. Ici, l’énoncé introduit une dose d’originalité en nommant la phase « Entrée » et en initialisant uniquement la variable P. Les deux autres variables, n et R sont initialisées pendant la phase de traitement…

    A ce stade, seule la valeur de P, saisie par l’utilisateur, peut être renseignée. L’énoncé indique en effet que P = 0,5 :

    Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 3 Obl 2014-p-exo3-3

  3. Traitement

    L’idée, c’est de calculer un par un les termes de la suite (r_n) tant qu’elle est strictement supérieure à P en utilisant la relation de récurrence r_{n+1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}r_n… d’où l’utilisation de la boucle « Tant que » ! De plus, à chaque calcul, on incrémente le rang n. Dès que la variable R ne respecte plus la condition R ~\textgreater ~P, on sort de la boucle « Tant que » et de la phase « Traitement » par la même occasion.

    Voici les valeurs prises par chacune des variables pendant la phase de traitement :
    Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 3 Obl 2014-p-exo3-4

  4. Sortie

    Enfin, une fois sortis de la boucle « Tant que », il nous reste à afficher le contenu de la variable n qui contient alors le rang du premier terme qui est inférieur ou égal à P : cela se fait via l’instruction « Afficher n ». Aucune des variables n’est affectée par un simple affichage. Leur valeur ne change donc pas en phase de sortie :

    Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 3 Obl 2014-p-exo3-5

En conclusion, voici ce qui doit être écrit sur la copie :

Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 3 Obl 2014-p-exo3-5
Pour P = 0,5, l’algorithme affiche 5.

b. Pour P = 0,01 on obtient n = 33. Quel est le rôle de cet algorithme ?

J’ai déjà répondu à cette question dans mes explications de la question précédente :

Le but de l’algorithme est d’afficher à partir de quel rang la suite (r_n) est inférieure ou égale au réel P saisi par l’utilisateur.

Question 4

a. Démontrer que le triangle OA_n A_{n+1} est rectangle en A_{n+1}.

Tout de suite, réflexe que vous devez avoir : faire un schéma !

Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 3 Obl 2014-p-exo3-6

Etant donné que l’on dispose de deux longueurs sur trois, on va utiliser cette bonne vieille réciproque du théorème de Pythagore ! Cela nécessite que l’on calcule la longueur qui manque, A_n A_{n+1}. Pour ce faire, je rappelle que :

Soient A et B deux points du plan d’affixes respectives z_A et z_B.
On a : AB = |z_B - z_A|.

Ici, cela donne :

A_n A_{n+1} = |z_{A_{n+1}} - z_A| = |z_{n+1} - z_n| = \left|\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_n - z_n\right| = \left|\left(-\dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_n\right| = \left|-\dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right||z_n| = \left|-\dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right|r_n

Calculons le module de -\dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i :

Or \left|-\dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right| = \sqrt{\left(-\dfrac{1}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{16} + \dfrac{3}{16}} = \sqrt{\dfrac{4}{16}} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}

On peut alors conclure sur la longueur A_n A_{n+1} :

D’où A_n A_{n+1} = \dfrac{1}{2} r_n.

Reste à appliquer la réciproque du théorème de Pythagore. Je rappelle que, puisque (r_n) est une suite géométrique de raison \dfrac{\sqrt{3}}{2}, on a r_{n+1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} r_n donc :

On a alors :
{OA_{n+1}}^2 + {A_n A_{n+1}}^2 = {r_{n+1}}^2 + \left(\dfrac{1}{2}r_n\right)^2 = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}r_n\right)^2 + \dfrac{1}{4}{r_n}^2 = \dfrac{3}{4}{r_n}^2 + \dfrac{1}{4}{r_n}^2 = {r_n}^2.
Donc, d’après la réciproque du théàrème de Pythagore, le triangle OA_n A_{n+1} est bien rectangle en A_{n+1}.

b. On admet que z_n = r_n e^{in\dfrac{\pi}{6}}.
Déterminer les valeurs de n pour lesquelles A_n est un point de l’axe des ordonnées.

Regardez la figure ci-dessous :

Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 3 Obl 2014-p-exo3-7

La question est : « Que doit valoir \theta pour que le point M se retrouve sur l’axe des ordonnées ? ».

\dfrac{\pi}{2} non ?

Oui… mais pas seulement ! Regardez ce qui se passe quand j’ajoute \pi à \theta = \dfrac{\pi}{2} :

Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 3 Obl 2014-p-exo3-8

Comme vous pouvez le voir, le point M reste sur l’axe des ordonnées. « En bas », certes, mais quand même sur l’axe des ordonnées. Donc \theta + \pi convient aussi. Ajoutons une nouvelle fois \pi :

Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 3 Obl 2014-p-exo3-9

Cette fois-ci, le point M retrouve sa position de départ et est donc bien également sur l’axe des ordonnées.

Bref, vous l’aurez compris, je peux rajouter autant de \pi que je veux, je resterai sur l’axe des ordonnées. Autrement dit :

Le point M(\rho;\theta) est sur l’axe des ordonnées pour tout \theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k entier relatif.

Appliquons cela à l’exercice. Ici, les points A_n auxquels on s’intéresse ont pour affixe z_n = r_ne^{in\dfrac{\pi}{6}} donc :

  • le module \rho de z_n est r_n ;
  • l’argument \theta de z_n est n\dfrac{\pi}{6} ;

d’où :

A_n appartient à l’axe des ordonnées

 
\Leftrightarrow n\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} et n \in \mathbb{N}

Attends, pourquoi tu précises « n \in \mathbb{N} » ? On le sait déjà non ? C’est le rang de la suite donc c’est forcément un entier naturel !

Bonne question ! Parce que ça va conditionner les valeurs de k. Il ne pourra pas valoir ce qu’il veut dans \mathbb{Z} (franchement, c’est un méchant piège. Je suis à peu près certain que beaucoup d’élèves l’auraient oublié).

\Leftrightarrow n = \dfrac{6}{\pi}\left(\dfrac{\pi}{2} + k\pi\right), k \in \mathbb{Z} et n \in \mathbb{N}
 
\Leftrightarrow n = 3 + 6k, k \in \mathbb{Z} et n \in \mathbb{N}
 
\Leftrightarrow n = 3 + 6k, k \in \mathbb{Z} et 3 + 6k \geq 0
 
\Leftrightarrow n = 3 + 6k, k \in \mathbb{Z} et k \geq -\dfrac{3}{6} = -\dfrac{1}{2}

Or, les entiers relatifs k supérieurs ou égaux à -\dfrac{1}{2} sont tous simplement les entiers naturels !

\Leftrightarrow n = 3 + 6k, k \in \mathbb{N}

c. Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points A_6, A_7, A_8 et A_9.
Les traits de construction seront apparents.

Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 3 Obl 2014-p-exo3-10

Cette question n’est pas si simple qu’elle n’en a l’air. Pour y répondre, il faut quand même avoir de bonnes idées. Ici, il s’agit d’exploiter deux choses :

  • on sait que, pour tout n entier naturel, l’affixe de A_n vaut z_n = r_n e^{in\dfrac{\pi}{6}}. Ainsi, on connaît l’argument de z_n et donc, on sait l’angle que fait la droite (OA_n) avec l’axe des abscisses. En particulier, si la différence entre les arguments de deux affixes z_i et z_j vaut \pi, alors les points A_i et A_j sont alignés. Calculons donc les arguments des différents points à représenter :
    • l’argument du nombre complexe z_6 vaut 6 \times \dfrac{\pi}{6} = \pi donc le point A_6 est aligné avec le point A_0 dont l’affixe z_0 a pour argument 0 \times \dfrac{\pi}{6} = 0 ;
    • l’argument du nombre complexe z_7 vaut 7 \times \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6} donc le point A_7 est aligné avec le point A_1 dont l’affixe z_1 a pour argument 1 \times \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} ;
    • l’argument du nombre complexe z_8 vaut 8 \times \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{8\pi}{6} = \dfrac{4\pi}{3} donc le point A_8 est aligné avec le point A_2 dont l’affixe z_2 a pour argument 2 \times \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3} ;
    • l’argument du nombre complexe z_9 vaut 9 \times \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{9\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{2} donc le point A_9 est aligné avec le point A_3 dont l’affixe z_3 a pour argument 3 \times \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}.

     

  • l’autre élément qui va nous être utile, c’est de savoir que le triangle OA_n A_{n+1} est rectangle en A_{n+1}. En effet, une propriété (trop souvent oubliée) apprise en classe de 4e nous dit que :
     
    Soit \mathcal{C} un cercle de diamètre [AB].
    Le point M appartient au cercle \mathcal{C} si et seulement si le triangle AMB est rectangle en M.

    Autrement dit, puisque le triangle OA_n A_{n+1} est rectangle en A_{n+1}, le point A_{n+1} appartient au cercle de diamètre [OA_n]. Ainsi, pour construire un point A_i, connaissant le point A_j avec lequel il est aligné, il suffit de faire l’intersection entre la droite (OA_j) et le cercle de diamètre [OA_{i-1}].

Voici ce que cela donne :

Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 3 Obl 2014-po-exo3-11

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 3 Obl.


Annexe

Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 3 Obl 2014-p-exo3-10

A compléter et à rendre avec la copie.

Exprimez vous!