Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 4

Enoncé

Partie A

f est une fonction définie et dérivable sur \mathbb{R}. f est la fonction dérivée de la fonction f.
Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on nomme \mathcal{C}_1 la courbe représentative de la fonction f et \mathcal{C}_2 la courbe représentative de la fonction f.
Le point A de coordonnées (0 ; 2) appartient à la courbe \mathcal{C}_1.
Le point B de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbe \mathcal{C}_2.

Question 1

Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative \mathcal{C}_1 de la fonction f. Sur l’une d’entre elles, la courbe \mathcal{C}_2 de la fonction dérivée f est tracée convenablement. Laquelle ? Expliquer le choix effectué.

Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 4 2014-po-exo4-1

Vous connaissez tous les liens entre une fonction f et sa dérivée f :

  • f est croissante si et seulement si f est positive ;
  • f est décroissante si et seulement si f est négative ;
  • f admet un extremum si et seulement si f s’annule et change de signe.

Commençons donc par remarquer quelques caractéristiques « structurantes » de la fonction f :

La fonction f :

  • f est d’abord décroissante puis croissante ;
  • f admet un minimum en \alpha qui vaut approximativement -0,75.

On en déduit donc des contraintes sur f :

Donc f doit :

  • être négatif sur ]-\infty ; \alpha] et positif sur [\alpha ; +\infty[ ;
  • s’annuler en x = \alpha.

Ayant posé clairement ces éléments, on en déduit aisément la bonne situation :

Or :

  • dans la situation 3, f est strictement positive sur \mathbb{R} donc la situation 3 est fausse ;
  • dans la situation 2, f s’annule en -1 donc la situation 2 est fausse ;
  • dans la situation 1, f est d’abord négative, puis s’annule approximativement en -0,75, et est enfin positive. Donc la situation 1 est la bonne situation.

Question 2

Déterminer l’équation réduite de la droite \Delta tangente à la courbe \mathcal{C}_1 en A.

Pour répondre à cette question, il faut savoir que :

L’équation de la tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point d’abscisse a est y = f.

Ici, on cherche l’équation de la tangente en a = 0. On a donc besoin de connaître les valeurs de f et de f(0).

Comment vais-je calculer la dérivée f ? Je ne connais même pas l’expression de f !

Bonne remarque ! Effectivement, on ne connaît pas encore l’expression de f. Il faut donc trouver un autre moyen de déterminer f. Et pour cela, l’information suivante va nous être utile :

Le point B de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbe \mathcal{C}_2.

Or :

Un point A de coordonnées (x_A;y_A) appartient à la courbe \mathcal{C} représentative de la fonction f si et seulement si f(x_A)=y_A.

Ici, cela nous permet d’écrire :

Le point B de coordonnées (0;1) appartient à la courbe \mathcal{C}_2 représentative de la fonction f donc f.

Exactement de la même façon, on détermine f(0) en exploitant le fait que :

Le point A de coordonnées (0 ; 2) appartient à la courbe \mathcal{C}_1.

Cela donne :

Le point A de coordonnées (0 ; 2) appartient à la courbe \mathcal{C}_1 représentative de la fonction f donc f(0) = 2.

On peut alors en déduire l’équation réduite de \Delta :

D’où l’équation réduite de la droite \Delta tangente à la courbe \mathcal{C}_1 est :
y = f
y = x + 2

Question 3

On sait que pour tout réel x, f(x) = e^{-x} + ax + ba et b sont deux nombres réels.

a. Déterminer la valeur de b en utilisant les renseignements donnés par l’énoncé.

Réflexe : on cherche deux inconnues, b et a (pour a, c’est dans la question suivante. Il faut donc à notre disposition deux égalités (si on cherchait 3 inconnues, il nous faudrait trois égalités, etc etc…). Et ces équations, on va les obtenir en traduisant deux éléments d’information de l’énoncé.

Et figurez-vous que ces éléments, on s’en est déjà servi une fois… mais on va le refaire !

Le point A de coordonnées (0 ; 2) appartient à la courbe \mathcal{C}_1.

Cette fois-ci, cela nous permet d’écrire que :

Le point A de coordonnées (0 ; 2) appartient à la courbe \mathcal{C}_1 donc f(0) = 2. On en déduit :
f(0) = 2 \Leftrightarrow e^{-0} + a \times 0 + b = 2

\Leftrightarrow 1 + b = 2

\Leftrightarrow b = 1

b. Prouver que a = 2.

Cette fois-ci, on exploite de nouveau l’hypothèse suivante de l’énoncé :

Le point B de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbe \mathcal{C}_2.

Cela nous donne :

Le point B de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbe \mathcal{C}_2 donc f.

Cette fois-ci, il faut effectivement dériver f. Pour cela, on aura besoin de la propriété suivante :

Pour tout x \in \mathbb{R}, (e^{-x}).

Cela donne :

Or, pour tout réel x, on a f.

En exploitant l’hypothèse de l’énoncé, on a alors :

On en déduit :
f

\Leftrightarrow -1 + a = 1

\Leftrightarrow a = 2.

Question 4

Etudier les variations de la fonction f sur \mathbb{R}.

Question ultra-classique ! Vous devez savoir y répondre les mains dans les poches ! En pré-requis, rappelons que d’après la question 3, on a déterminé que, pour tout x \in \mathbb{R}, f(x) = e^{-x} + 2x + 1.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer l’ensemble de définition \mathcal{D}_f de f.

Ici, \mathcal{D}_f est indiqué dans l’énoncé : il s’agit de \mathbb{R}.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Calculer f.
Pour tout x \in \mathbb{R},
f.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Voir si le signe de f dépend d’une expression plus simple. Pour cela, il faut prouver que le facteur « qu’on peut enlever » pour obtenir l’expression plus simple est strictement positif sur cet intervalle.

Ici, il n’y a pas de « partie » de f dont on sait facilement qu’elle est strictement positive. On peut donc directement passer à l’étape suivante.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Calculer les racines de f ou, si on a montré auparavant que le signe de f ne dépendait que du signe d’une fonction u, calculer les racines de u : les racines trouvées seront alors également les racines de f.
Tu peux me rappeler ce que ça veut dire « calculer les racines » d’une fonction stp ?

Pas de problème, je suis là pour répondre à vos questions :

« Calculer les racines d’une fonction f » signifie « Résoudre f(x) = 0 ».

Calculons donc les racines de f :

f

\Leftrightarrow e^{-x} = 2

Arrivé là, il faut se débarrasser de l’exponentielle. Pour ça, il y un réflexe, un seul :

  • Pour se « débarrasser » de l’exponentielle, il suffit d’appliquer la fonction logarithme népérien.
  • Pour se « débarrasser » du logarithme népérien, il suffit d’appliquer la fonction exponentielle.

Ce réflexe tient au fait que :

  • Pour tout x \in \mathbb{R}, ln~(e^x) = x ;
  • Pour tout x \in \mathbb{R_+^*}, e^{ln~x} = x.

Ici, on souhaite se débarrasser de la fonction exponentielle donc il faut appliquer le logarithme népérien :

... \Leftrightarrow -x = ln~2

\Leftrightarrow x = -ln~2
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Déterminer le signe de f ou, si on a montré auparavant que le signe de f ne dépendait que du signe d’une fonction u, déterminer le signe de u.
Ah il faut faire un tableau de signes ?

Eh non. Un tableau de signes, ça marche bien quand on a un produit ou un quotient de facteurs. Ici, on a affaire à une somme. Du coup, on n’a pas d’autre choix que de résoudre les inéquations f et f.

Commençons par l’inéquation f :

Pour tout x \in \mathbb{R},
f

\Leftrightarrow e^{-x} \geq 2

A nouveau, il faut se débarrasser de l’exponentielle.

Hop ! Réflexe ! On applique le logarithme népérien !

Bien ! Je vois que ça commence à rentrer ! Mais attention, on a ici une inégalité. Cela rajoute une difficulté supplémentaire. En effet :

Dès lors que l’on applique une fonction de part et d’autre d’une inégalité, il faut se demander si l’ordre est conservé ou inversé :

  • si la fonction appliquée est croissante, l’ordre est conservé ;
  • si la fonction appliquée est décroissante, l’ordre est inversé.

Or :

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur son ensemble de définition \mathbb{R}_+^*.

Donc, en l’appliquant à l’inégalité, le sens de cette dernière est conservé :

... \Leftrightarrow ln~(e^{-x}) \geq ln~2 car la fonction ln est strictement croissante sur \mathbb{R}_+^*

\Leftrightarrow -x \geq ln~2

\Leftrightarrow x \leq -ln~2

Exactement de la même façon, on doit résoudre l’inéquation f :

Pour tout x \in \mathbb{R},
f

\Leftrightarrow e^{-x} \leq 2

\Leftrightarrow ln~(e^{-x}) \leq ln~2 car la fonction ln est strictement croissante sur \mathbb{R}_+^*

\Leftrightarrow -x \leq ln~2

\Leftrightarrow x \geq -ln~2

Finalement, on a donc :

Donc, pour tout x \leq -ln~2, f et, pour tout x \geq -ln~2, f.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{6}}} Calculer les valeurs de f auxquelles f s’annule.

Ici, on sait que f ne s’annule qu’en -ln~2 sur \mathbb{R} donc on calcule f(-ln~2) :

De plus, f(-ln~2) = e^{ln~2} - 2ln~2 + 1 = 2 - 2ln~2 + 1 = 3 - 2ln~2.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{7}}} Calculer les limites de f

  • aux bornes de son ensemble de définition
  • lorsque x tend vers une valeur interdite

Ici, l’énoncé demande les limites de f en +\infty à la question suivante. On peut donc en déduire qu’il n’attend aucune limite ici.

On peut donc « sauter » cette étape.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{8}}} Etablir le tableau de variations de f en retenant que :

  • si f est strictement positive sur un intervalle, alors f est strictement croissante ;
  • si f est strictement négative sur un intervalle, alors f est strictement décroissante.
\begin{array}{|l|ccccc|}\hline x & -\infty & & -ln~2 & & +\infty \\\hline f

Question 5

Déterminer la limite de la fonction f en +\infty.

Cette limite n’est pas bien difficile à calculer si on sait que :

\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}} e^{-x} = 0

Donc on peut écrire :

\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}} e^{-x} = 0 et \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}} 2x + 1 = +\infty, d’où, par somme, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}} f(x) = +\infty.

Partie B

Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x) = f(x) - (x + 2).

Question 1

a. Montrer que la fonction g admet  0 comme minimum sur \mathbb{R}.

Et une nouvelle étude de fonction, une ! On va donc évidemment reprendre la même démarche.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer l’ensemble de définition \mathcal{D}_g de g.

Ici, \mathcal{D}_g est indiqué dans l’énoncé : il s’agit de l’ensemble \mathbb{R}.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Calculer g.
Pour tout x \in \mathbb{R}, g.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Voir si le signe de g ne dépend pas d’une expression plus simple. Pour cela, il faut prouver que le facteur « qu’on peut enlever » pour obtenir l’expression plus simple est strictement positif sur cet intervalle.

Ici, il n’y a pas de facteur que l’on sait être strictement positif dans l’expression de g.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Calculer les racines de g ou, si on a montré auparavant que le signe de g ne dépendait que du signe d’une fonction u, calculer les racines de u.

Ici cela donne :

Pour tout x \in \mathbb{R},
g

\Leftrightarrow e^{-x} = 1

\Leftrightarrow -x = ln~1

\Leftrightarrow x = -ln~1

\Leftrightarrow x = 0

Vous remarquerez que pour résoudre cette équation, j’ai dû utiliser le fait que :

ln~1 = 0
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Déterminer le signe de g ou, si on a montré auparavant que le signe de g ne dépendait que du signe d’une fonction u, déterminer le signe de u.

A nouveau, nous devons résoudre les inéquations g et g.

Commençons par l’inéquation g :

Pour tout x \in \mathbb{R},
g

\Leftrightarrow e^{-x} \geq 1

\Leftrightarrow -x \geq ln~1

\Leftrightarrow x \leq -ln~1

\Leftrightarrow x \leq 0

Exactement de la même façon, on doit résoudre l’inéquation g :

Pour tout x \in \mathbb{R},
g

\Leftrightarrow e^{-x} \leq 1

\Leftrightarrow -x \leq ln~1

\Leftrightarrow x \geq -ln~1

\Leftrightarrow x \geq 0

On peut arrêter la démarche ici. En effet, tout ce qu’on nous demande, c’est de montrer que g admet un minimum en  0 et on a tous les éléments pour conclure :

Donc, pour tout x \leq 0, g et, pour tout x \geq 0, g. Donc g est décroissante sur ]-\infty ; 0], croissante sur [0 ; +\infty[, et admet un minimum en  0 .
Ce minimum vaut g(0) = f(0) - (0 + 2) = 2 - 0 - 2 = 0.

b. En déduire la position de la courbe \mathcal{C}_1 par rapport à la droite \Delta.

Cette question ne doit avoir aucun secret pour vous :

Soient f et g deux fonctions représentées respectivement par les courbes \mathcal{C}_f et \mathcal{C}_g. Pour étudier les positions relatives de ces deux courbes représentatives, il faut étudier le signe de la différence f - g (un tableau de signes peut alors être nécessaire). Si :

  • f - g ~\textgreater ~0 alors \mathcal{C}_f est « au-dessus » de \mathcal{C}_g ;
  • f - g = 0 alors les deux courbes sont confondues ;
  • f - g < 0 alors \mathcal{C}_f est « en-dessous » de \mathcal{C}_g.

Ici, c’est :

  • \mathcal{C}_1 qui joue le rôle de \mathcal{C}_f ;
  • \Delta, courbe représentative de la fonction x \mapsto x + 2 qui joue le rôle de \mathcal{C}_g.

L’énoncé nous a déjà pas mal « mâché le travail ». Il nous a fait étudier la différence f(x) - (x+2) à la question précédente.

Oui sauf qu’on a pas le signe de cette différence !

C’est vrai… mais on peut le trouver assez facilement ! En effet :

On vient de montrer à la question précédente que la fonction g admettait le minimum  0 sur \mathbb{R}.

Puisque g vaut  0 à son minimum, c’est qu’elle est toujours positive !

…donc elle est positive sur \mathbb{R}. Autrement dit, pour tout x \in \mathbb{R}, f(x) - (x + 2) \geq 0.

Il ne reste plus qu’à interpréter graphiquement ce résultat :

Donc la courbe \mathcal{C}_1 est au-dessus de la droite \Delta.

Question 2

La figure 2 ci-dessous représente le logo d’une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s’est servi de la courbe \mathcal{C}_1 et de la droite \Delta, comme l’indique la figure 3 ci-dessous. Afin d’estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l’aire de la partie colorée en gris.

Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 4 2014-po-exo4-2

Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où :

  • D est le point de coordonnées (-2 ; 0),
  • E est le point de coordonnées (2 ; 0),
  • F est le point d’abscisse 2 de la courbe \mathcal{C}_1,
  • G est le point d’abscisse -2 de la courbe \mathcal{C}_2.

La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite \Delta, la courbe \mathcal{C}_1, la droite d’équation x = -2 et la droite d’équation x = 2.
Calculer, en unités d’aire, l’aire de la partie du logo colorée en gris (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10^{-2} du résultat).

Petit calcul d’intégrale pour finir l’exercice. Outre son calcul pur et simple, l’énoncé cherche à vérifier ici que vous connaissez bien l’interprétation graphique des intégrales.

L’aire cherchée correspond à l’aire sous la courbe \mathcal{C}_1 à laquelle on soustrait l’aire sous la droite \Delta, le tout entre -2 et 2.

Or :

L’intégrale de a à b d’une fonction f, c’est l’aire algébrique située « sous la courbe » représentative de la fonction f entre les droites d’équation x = a et x = b. Par « algébrique », on entend que cette aire est :

  • positive lorsque f est positive ;
  • négative lorsque f est négative.

Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 4 2013-an-exo4-3
Ainsi, dans la figure ci-dessus, \int_{a}^{b} f(x)\,dx est la somme algébrique des aires jaune et bleu.

En particulier, on a :

Si la fonction f est positive entre les droites d’équation x = a et x = b, l’intégrale de a à b d’une fonction f, c’est l’aire « tout court » située « sous la courbe » représentative de la fonction f entre les droites d’équation x = a et x = b.

Ici, comme on peut le voir, les fonctions f et x \mapsto x + 2 sont toutes les deux positives sur l’intervalle [-2; 2]. Donc :

  • l’aire sous la courbe \mathcal{C}_1 vaut \int_{-2}^{2} f(x)\,dx ;
  • l’aire sous la droite \Delta vaut \int_{-2}^{2} (x + 2)\,dx.

Du coup, l’aire verte cherchée est la différence entre ces deux aires :

L’aire cherchée vaut :
\int_{-2}^{2} f(x)\,dx - \int_{-2}^{2} x + 2\,dx = \int_{-2}^{2} [f(x) - (x + 2)],dx = \int_{-2}^{2} [e^{-x} + 2x + 1 - x - 2]\,dx = \int_{-2}^{2} [e^{-x} + x - 1]\,dx

Le seul terme qui peut poser difficulté ici, c’est le terme e^{-x}. Pour calculer une primitive de e^{-x}, il faut savoir que :

Une primitive de  u(ax + b) est de la forme  \dfrac{1}{a}U(ax + b) + k ,  k \in \mathbb{R} , où U est une primitive de u.

Ici :

  • x \mapsto e^x joue le rôle de u ;
  • -1 joue le rôle de a ;
  •  0 joue le rôle de b.

Sachant que les primitives de x \mapsto e^x sont de la forme x \mapsto e^x + k, k \in \mathbb{R}, une primitive de x \mapsto e^{-x} est donc x \mapsto -e^{-x} + k. On peut donc poursuivre les calculs :

... = [-e^{-x}]_{-2}^2 + \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{-2}^2 - [x]_{-2}^2 = (-e^{-2} + e^{2}) + (2 - 2) - (2 + 2) = -e^{-2} + e^{2} - 4 \simeq 3,25 à 10^{-2} près.

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Maths Pondichéry Exercice 4.

Exprimez vous!