Bac S 2014 Spé Maths Antilles-Guyane Exercice 4

Enoncé

En montagne, un randonneur a effectué des réservations dans deux types d’hébergements : l’hébergement A et l’hébergement B.
Une nuit en hébergement A coûte 24 € et une nuit en hébergement B coûte 45 €.
Il se rappelle que le coût total de sa réservation est de 438 €.
On souhaite retrouver les nombres x et y de nuitées passées respectivement en hébergement A et en hébergement B.

Question 1

a. Montrer que les nombres x et y sont respectivement inférieurs ou égaux à 18 et 9.

Pour commencer, on vous demande de tirer des propriétés sur les variables x et y. Du coup, forcément, pour répondre à cette question, vous devez vous demander « que sais-je sur x et y ? ». Et la réponse est que vous savez ceci :

Une nuit en hébergement A coûte 24 € et une nuit en hébergement B coûte 45 €.
Il se rappelle que le coût total de sa réservation est de 438 €.

Traduit en termes mathématiques, cela veut dire que :

Les données de l’énoncé nous permettent d’écrire que 24x + 45y = 438.

Comme x et y représentent le nombre de nuitées, ils sont forcément positifs. Du coup, 24x d’une part, et 45y d’autre part, sont tous les deux inférieurs à 438 :

Or x et y sont positifs donc :

  • 24x \leq 438 d’où x \leq \dfrac{438}{24} = 18,25 d’où x \leq 18
  • 45y \leq 438 d’où y \leq \dfrac{438}{45} \simeq 9,73 d’où y \leq 9
Euh… c’est pas parce qu’un nombre est inférieur ou égal à 18,25 (respectivement 9,73) qu’il est inférieur ou égal à 18 (respectivement 9) !

C’est vrai dans le cas général. Sauf que x et y sont des entiers naturels ! C’est quoi l’entier qui est inférieur ou égal à 18,25 (respectivement 9,73) hein ?

C’est 18 (respectivement 9)…

Et voilà ! :)

b. Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l’algorithme suivant afin qu’il affiche les couples (x ; y) possibles.

Bac S 2014 Spé Maths Antilles-Guyane Exercice 4 2014-ag-exo4s-1

En lisant cet algorithme, vous devez comprendre assez rapidement ce qu’il cherche à faire. En l’occurrence, il cherche à faire ceci :

Bac S 2014 Spé Maths Antilles-Guyane Exercice 4 2014-ag-exo4s-2

L’idée est de parcourir toutes les valeurs de x, de  0 jusqu’à sa valeur maximale 18 et, pour chaque valeur de x, parcourir toutes les valeurs de y, de  0 à sa valeur maximale 9. Dès que 24x + 45y = 438, on affiche x et y.

Pour compléter l’algorithme, voyons de façon détaillée comment il est construit :

  1. Ici, deux variables sont effectivement nécessaires :
    • la première variable, x, va contenir les valeurs successives prises par x qui, je le rappelle, représente le nombre de nuitées passées en hébergement A. Ce nombre étant un entier naturel, x va contenir un entier naturel donc elle doit être définie comme un entier naturel. L’énoncé n’y va pas avec des pincettes et le définit simplement comme un nombre. Ce n’est pas très précis : un nombre quoi ? Réel ? Entier ? Naturel ? Relatif ? Si je devais noter le concepteur du sujet, je ne lui mettrais pas tous les points…
    • la seconde variable, y, va elle, contenir les valeurs successives prises par y. Elle représente le nombre de nuitées passées en hébergement B. Ce nombre étant aussi un entier naturel, y va contenir un entier naturel donc elle doit aussi être définie comme un entier naturel. Comme pour x, l’énoncé définit y simplement comme un nombre…
  2. Passons maintenant à la phase de traitement.

    Attends attends… Il manque pas une phase là ? Dans tous les algorithmes que j’ai vus jusqu’à présent, il y a toujours une phase d’initialisation !

    Très bonne remarque ! Je vois que vous êtes attentif ! C’est bien ! 😉

    En fait, on fait prendre à x et à y des valeurs particulières dès leur première apparition dans la phase de traitement via les instructions « Pour » :  0 pour x et  0 pour y. A quoi cela servirait-il de les initialiser si c’est pour immédiatement écraser cette valeur lors de la phase de traitement ?…

    L’idée, c’est de calculer la somme 24x + 45y = 438 pour toutes les valeurs possibles de x et de y. Pour ce faire, on parcourt toutes les valeurs possibles de x. Pour chacune d’elles, on déroule toutes les valeurs possibles de y et on calcule la somme 24x + 45y = 438 à chaque fois qu’on change de valeur de y.

    La boucle « Pour » est idéale pour ce genre de choses : elle permet de fixer une borne de début et une borne de fin. Pour x, la borne de début est  0 et la borne de fin est 18 puisque c’est sa valeur maximale. On peut donc compléter l’instruction (1) :

    Pour x variant de  0 à 18 (1)

    Quant à y, ses bornes de début et de fin sont respectivement  0 et 9. Donc il faut compléter l’instruction (2) de la façon suivante :

    Pour y variant de  0 à 9 (2)

    Enfin, puisque l’on cherche à afficher les couples (x;y) solutions de l’équation 24x + 45y = 438, il s’agit d’afficher x et y uniquement si ils vérifient l’équation. Il faut donc compléter l’instruction (3) de la façon suivante :

    Si 24x + 45y = 438 (3)

Question 2

Justifier que le coût total de la réservation est un multiple de 3.

Ouah la question cadeau !

Même un élève de 6e sait répondre ! Le coût total de la réservation vaut 438 €. Or, 4 + 3 + 8 = 15 et 15 est un multiple de 3 donc le coût total de la réservation est un multiple de 3 !

C’est pas faux… mais je ne pense pas que ce soit ce qui est attendu ! A mon avis, ce qu’on souhaite vous voir écrire ici, c’est la définition de la divisibilité. Je rappelle que :

Soient a et b deux entiers relatifs, avec b non nul. On dit que « b divise a » ou que « a est divisible par b » si et seulement si il existe q entier relatif tel que a = bq.

Ici, cela donne donc :

Le coût total des réservations est de 438 €. Or, 438 = 3 \times 146 avec 146 \in \mathbb{Z} d’où le coût total des réservations est un multiple de 3.

Question 3

a. Justifier que l’équation 8x+15y = 1 admet pour solution au moins un couple d’entiers relatifs.

En voilà une belle question de cours :

Théorème de Bézout
Soient a, b et D trois entiers relatifs non nuls.
PGCD(a;b) = D si et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = D.

Or ici, les inconnues sont les entiers x et y donc :

  • 8 et 15 jouent respectivement les rôles de a et b ;
  • x et y jouent respectivement les rôles de u et v ;
  • 1 joue le rôle de D.

D’où l’équation 8x + 15y = 1 admet pour solution au moins un couple d’entiers relatifs si et seulement si PGCD(8;15) = 1.

Déterminons donc le PGCD de 8 et 15 :

Les diviseurs de 8 sont 1, 2, 4 et 8.
Les diviseurs de 15 sont 1, 3, 5 et 15.

Donc PGCD(8;15) = 1.

Le théorème de Bézout nous permet alors de conclure :

D’où, d’après le théorème de Bézout, l’équation 8x + 15y = 1 d’inconnues x et y admet pour solution au moins un couple d’entiers relatifs.

b. Déterminer une telle solution.

Lorsque l’on vous dit ça, il faut comprendre « trouver une solution triviale à cette équation », c’est-à-dire une solution que l’on peut trouver en « tâtonnant » un peu ou en utilisant l’algorithme d’Euclide.

Ici, une solution qui vient assez rapidement en tâtonnant, c’est le couple (2 ; -1) :

8 \times 2 + 15 \times (-1) = 1 donc le couple (2 ; -1) est solution de l’équation 8x + 15y = 1.

c. Résoudre l’équation (E) : 8x+15y = 146x et y sont des nombres entiers relatifs.

Résoudre l’équation (E) : ax + by = ca et b sont des entiers relatifs non nuls premiers entre eux et c un entier relatif non nul est un savoir-faire que vous devez absolument maîtriser. La démarche est toujours la même :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer une solution triviale à l’équation ax + by = 1.

C’est ce qui a été fait à la question précédente :

D’après la question précédente que 8 \times 2 + 15 \times (-1) = 1 ~(1) .

Pour faciliter mes explications, j’ai nommé l’égalité (1). Je renommerai de la même façon certaines égalités qui suivent.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Déterminer une solution triviale à l’équation (E) en multipliant l’égalité (1) par c.

Ici, comme c = 146, multiplions l’égalité (1) par 146 :

D’où :
146(8 \times 2 + 15 \times (-1)) = 146 \times 1 soit
8 \times \underbrace{292}_{2 \times 146} + 15 \times \underbrace{(-146)}_{-1 \times 146} = 146 ~(2)
Donc (292 ; -146) est un couple solution de l’équation (E).

Vous remarquerez que j’ai laissé 8 et 15 tels quels : en fait, sur le membre de gauche, c’est le couple solution, ici (2 ; -1), qu’il faut multiplier par c.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Introduire (x ; y) autre couple solution de l’équation (E).
Soit (x ; y) un autre couple solution de l’équation (E). Alors, on a 8x + 15y = 146 ~(E).
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Remarquer que puisque les membres de gauche des équations (2) et (E) sont tous les deux égaux à c, alors ils sont égaux entre eux.
D’où :
\begin{cases}8x + 15y = 146 \\8 \times 292 + 15 \times (-146) = 146\end{cases} \Rightarrow 8x + 15y = 8 \times 292 + 15 \times (-146)
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Regrouper les termes en a d’un côté, et en b de l’autre.

Je rappelle qu’ici :

  • 8 joue le rôle de a ;
  • 15 joue le rôle de b.

On va donc regrouper les termes en 8 à gauche et les termes en 15 à droite. Cela donne :

... \Rightarrow 8(x - 292) = 15(-146 - y)~(3)
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{6}}} Faire appel au théorème de Gauss en exploitant le fait que a et b sont premiers entre eux.

Pour ceux qui ne se souviennent pas de ce que dit le théorème de Gauss, petit rappel :

Théorème de Gauss
Soient a, b et c trois entiers relatifs non nuls.
Si a divise le produit bc et si a est premier avec b, alors a divise c.

Ici, en remarquant que :

-146 - y est un entier relatif donc 15 divise 8(x - 292).

on se situe dans les conditions du théorème de Gauss avec :

  • 15 qui joue le rôle de a ;
  • 8 qui joue le rôle de b ;
  • x - 292 qui joue le rôle de c.

Donc, on peut écrire :

Or, 8 et 15 sont premiers entre eux donc 15 divise x - 292.

Un raisonnement identique nous permet d’écrire que :

De même 8 divise -146 - y.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{7}}} Exploiter les divisibilités mises en évidence à l’étape précédente pour en déduire la forme de x et de y.

Exploitons d’abord le fait que 15 divise x - 292 :

15 divise x - 292 donc il existe k \in \mathbb{Z} tel que x - 292 = 15k. D’où x = 292 + 15k.

Puis remplaçons x par son expression fraîchement trouvée dans l’égalité (3) :

Donc l’égalité (3) devient :
8(\underbrace{292 + 15k}_{x} - 292) = 15(-146 - y) \Leftrightarrow 8 \times 15k = 15(-146 - y)

\Leftrightarrow 8k = -146 - y
 
\Leftrightarrow y = -146 - 8k

On vient donc de montrer que si x et y sont des solutions de l’équation (E), alors ils s’écrivent respectivement sous la forme x = 292 + 15k et y = -146 - 8k, avec k entier relatif. Mais cela ne suffit pas ! L’étape suivante est indispensable si vous voulez avoir tous les points à cette question.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{8}}} Indiquer que réciproquement, si on remplace x et y par les expressions trouvées, l’équation (E) est bien vérifiée.

Ici, cela donne :

Réciproquement, soit k un entier relatif. On pose x = 292 + 15k et y = -146 - 8k.
8x + 15y = 8(\underbrace{292 + 15k}_{x}) + 15(\underbrace{-146 - 8k}_{y}) = 2336 + 120k - 2190 - 120k = 146.
Donc l’équation (E) est bien vérifiée.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{9}}} Conclure sur les solutions de l’équation (E).
Ainsi, Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E est \left\{(292 + 15k ; -146 - 8k), k \in \mathbb{Z}\right\}.

Question 4

Le randonneur se souvient avoir passé au maximum 13 nuits en hébergement A.
Montrer alors qu’il peut retrouver le nombre exact de nuits passées en hébergement A et celui des nuits passées en hébergement B.
Calculer ces nombres.

On cherche ici à déterminer x et y. Sachant que x et y représentent le nombre de nuitées passées respectivement en hébergement A et en hébergement B, je rappelle qu’on a indiqué à la question 1. a. que :

D’après l’énoncé, on a 24x + 45y = 438~(E.
Eh mais c’est pas du tout l’équation qu’on a étudiée dans les questions précédentes !

C’est un très bon réflexe d’essayer de faire le lien avec les questions précédentes. Alors effectivement, cette équation n’est pas celle qu’on a étudiée… mais elle s’en rapproche beaucoup ! En effet, si on divise les deux membres de l’égalité par 3, on remarque que l’on tombe exactement sur (E) !

24x + 45y = 438 \Leftrightarrow 8x + 15y = 146

Ainsi, puisque les égalités (E) et (E sont équivalentes, l’ensemble des solutions de (E, c’est l’ensemble des solutions de l’équation (E) que l’on a déterminé à la question précédente :

Donc l’ensemble des solutions de l’équations (E est \left\{(292 + 15k ; -146 - 8k), k \in \mathbb{Z}\right\}.

Le truc, c’est que cet ensemble de solutions est infini : en faisant varier k à l’infini, on obtient un nombre infini de solutions.

Bah comment on peut trouver exactement le nombre de nuits passées respectivement en hébergement A et B alors ?

Pour ça, il faut « contraindre » l’ensemble des solutions, lui donner des « limites ». Et pour ça, il faut que l’énoncé nous en indique une, de contrainte :

Le randonneur se souvient avoir passé au maximum 13 nuits en hébergement A.

Autrement dit :

Le randonneur se souvient avoir passé au maximum 13 nuits en hébergement A donc x est inférieur ou égal à 13.

Mais cette contrainte ne suffit pas. Il faut aussi remarquer que :

De plus, x représente le nombre de nuits passées en hébergement A donc, c’est forcément un nombre positif.

D’où :

Donc on a :
0 \leq x \leq 13

Il ne reste alors plus qu’à remplacer x par son expression en fonction de k pour en déduire un encadrement de k :

... \Leftrightarrow 0 \leq 292 + 15k \leq 13

\Leftrightarrow -292 \leq 15k \leq 279

\Leftrightarrow -\dfrac{292}{15} \leq k \leq -\dfrac{279}{15}

Avec un tel encadrement, k ne peut avoir qu’une seule valeur. En effet :

Or :

  • -\dfrac{292}{15} \simeq -19,47 et -\dfrac{279}{15} = -18,6 ;
  • k est un entier.

Donc k = -19.

En effet, le seul entier compris entre -19,47 et -18,6, c’est -19.

On peut alors conclure sur x et y :

Donc :

  • x = 292 + 15k = 292 + 15 \times (-19) = 7 ;
  • y = -146 - 8k = -146 - 8 \times (-19) = 6.

Donc le randonneur a passé 7 nuits en hébergement A et 6 nuits en hébergement B.

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Spé Maths Antilles-Guyane Exercice 4.

Exprimez vous!