Bac S 2014 Spé Maths Centres étrangers Exercice 4

Enoncé

Partie A : préliminaires

Question 1

a. Soient n et N deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, tels que :

n^2 \equiv N - 1 \quad [N].

Montrer que : n \times n^3 \equiv 1 \quad [N].

On dispose d’une propriété sur n^2 et on veut une propriété sur n \times n^3, c’est-à-dire n^4… Que fait-on ?

On met au carré !

Bien !

n^2 \equiv N - 1 \quad [N] \Rightarrow (n^2)^2 \equiv (N-1)^2 \quad [N]

\Rightarrow n^4 \equiv N^2 - 2N + 1 \quad [N]

Et là, vous devez acquérir le réflexe suivant :

Lorsque l’on manipule des relations de congruence, il faut toujours factoriser ce qu’on peut par le facteur qui est dans le modulo.

Ici, le facteur qui est dans le modulo, c’est N donc on factorise ce qu’on peut par N :

... \Rightarrow n^4 \equiv N(N-2) + 1 \quad [N]
Et il sert à quoi ce réflexe ?

A appliquer le rappel de cours suivant :

a \equiv bq + r \quad [b] \Leftrightarrow a \equiv r \quad [b]

Autrement dit, le terme que l’on obtient en factorisant par le modulo, on peut tout simplement l’enlever :

... \Rightarrow n^4 \equiv 1 \quad [N]

Et puisque n^4 = n \times n^3, on peut conclure :

... \Rightarrow n \times n^3 \equiv 1 \quad [N]

b. Déduire de la question précédente un entier k_1 tel que : 5k_1 \equiv 1  \quad [26].
On admettra que l’unique entier k tel que : 0 \leq k \leq 25 et 5k \equiv 1  \quad [26]
vaut 21.

Personnellement, quand j’ai vu les nombres 5 et 26, je me suis dit « Attends, 5^2 = 25, c’est pas loin de 26, hum… Ah mais oui ! Je peux faire jouer à 5 et à 26 respectivement les rôles de n et N de la question 1. a :

5^2 \equiv 25 \quad [26] donc, d’après la question 1. a., 5 \times \underbrace{5^3}_{k_1} \equiv 1 \quad [26]. Donc l’entier k_1 = 5^3 = 125 convient.
Non mais attends, l’énoncé lui, propose 21 comme entier ! C’est pas du tout celui que tu indiques !

J’adore les gens qui se posent des questions intelligentes par rapport à l’énoncé ! :) C’est un réflexe que vous devez avoir ! C’est vrai que l’énoncé propose 21 mais cela ne veut pas dire que notre réponse est fausse. La question 1. a. nous a permis d’en trouver un qui est supérieur à 25. L’énoncé en propose un autre, compris lui entre  0 et 25. Ce n’est pas incompatible avec notre réponse ! :)


Question 2

On donne les matrices : A = \begin{pmatrix}4 & 1 \\3 & 2\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}2 & -1 \\-3 & 4\end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix}x_1 \\x_2\end{pmatrix} et Y = \begin{pmatrix}y_1 \\y_2\end{pmatrix}.

a. Calculer la matrice 6A - A^2.

Pour ne pas alourdir les calculs, calculons d’abord séparément 6A et A^2 :

6A = 6\begin{pmatrix}4 & 1 \\3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \times 4 & 6 \times 1 \\6 \times 3 & 6 \times 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}24 & 6 \\18 & 12\end{pmatrix}

A^2 = \begin{pmatrix}4 & 1 \\3 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 1 \\3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \times 4 + 1 \times 3 & 4 \times 1 + 1 \times 2 \\3 \times 4 + 2 \times 3 & 3 \times 1 + 2 \times 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}19 & 6 \\18 & 7\end{pmatrix}

On en déduit :

D’où 6A - A^2 = \begin{pmatrix}24 & 6 \\18 & 12\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}19 & 6 \\18 & 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}24 - 19 & 6 - 6 \\18 - 18 & 12 - 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 0 \\0 & 5\end{pmatrix}

Et là, on remarque que l’on peut exprimer le résultat en fonction de la matrice identité.

C’est quoi la matrice identité déjà ?
La matrice identité d’ordre n est une matrice carrée de n lignes et n colonnes dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale, qui eux, valent 1 : I_n = \begin{pmatrix}1 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & 1\end{pmatrix}.

Donc ici, on peut poursuivre les calculs de la façon suivante :

... = 5\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix} = 5I_2.

b. En déduire que A est inversible et que sa matrice inverse, notée A^{-1}, peut s’écrire sous la forme A^{-1} = \alpha I + \beta A, où \alpha et \beta sont deux réels que l’on déterminera.

Soit A une matrice carrée d’ordre n (c’est-à-dire à n lignes et n colonnes). Montrer qu’une matrice A est inversible, c’est montrer qu’il existe une matrice M telle que MA = I_n ou que AM = I_n. La matrice M est alors notée A^{-1}.

Alors, que savons-nous ? Nous savons que :

D’après la question précédente, 6A - A^2 = 5I_2.

Personnellement, quand je vois ça, je n’ai qu’une envie : c’est de factoriser le membre de gauche par A :

Donc on a :
(6I_2 - A)A = 5I_2 soit \underbrace{\dfrac{1}{5}(6I_2 - A)}_{A^{-1}}A = I_2

On l’a trouvé, notre matrice A^{-1} :

D’où la matrice A est inversible avec A^{-1} = \dfrac{1}{5}(6I_2 - A) = \dfrac{6}{5}I_2 - \dfrac{1}{5}A.

…et cette matrice A^{-1} est bien de la forme voulue par l’énoncé !

c. Vérifier que : B = 5A^{-1}.

Calculons 5A^{-1}. Tant que l’on peut faire des calculs sans remplacer les matrices par leurs coefficients, on le fait :

5A^{-1} = 5 \times \dfrac{6}{5}I_2 - \dfrac{1}{5}A = 6I_2 - A

Maintenant on remplace les matrices par leurs coefficients :

... = 6\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 & 1 \\3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & 0 \\0 & 6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 & 1 \\3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -1 \\-3 & 4\end{pmatrix} = B.

d. Démontrer que si AX = Y , alors 5X = BY.

L’idée, c’est de supposer que AX = Y et de calculer ce que vaut BY dans ce cas :

Supposons que Y = AX. Alors, en multipliant chaque membre de cette égalité par la matrice B à gauche, on a :
BY = BAX

Or, on vient de montrer que B = 5A^{-1} donc il faut poursuivre de la façon suivante :

... = 5A^{-1}AX

Et là, on se souvient que :

Soit A une matrice carrée d’ordre n, inversible.
AA^{-1} = A^{-1}A = I_n.

Donc on peut écrire que :

... = 5I_2X

Et comme on sait également que :

Soit A une matrice carrée d’ordre n.
AI_n = I_n A = A.

on peut terminer le calcul :

... = 5X.

D’où la conclusion :

Donc, si AX = Y, alors 5X = BY.

Partie B : procédure de codage

Coder le mot « ET », en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous.

  • Le mot à coder est remplacé par la matrice X = \begin{pmatrix}x_1 \\x_2\end{pmatrix}, où x_1 est l’entier représentant la première lettre du mot et x_2 l’entier représentant la deuxième, selon le tableau de correspondance ci-dessous :
    Bac S 2014 Spé Maths Centres étrangers Exercice 4 2014-ce-exo4s-1
  • La matrice X est transformée en la matrice Y = \begin{pmatrix}y_1 \\y_2\end{pmatrix} telle que : Y = AX.
  • La matrice Y est transformée en la matrice R = \begin{pmatrix}r_1 \\r2\end{pmatrix}, où r_1 est le reste de la division euclidienne de y_1 par 26 et r_2 le reste de la division euclidienne de y_2 par 26.
  • Les entiers r_1 et r_2 donnent les lettres du mot codé, selon le tableau de correspondance ci-dessus.

Exemple

\text{"OU" (mot \`a coder)} \rightarrow X = \begin{pmatrix}14 \\20\end{pmatrix} \rightarrow Y = \begin{pmatrix}76 \\82\end{pmatrix} \rightarrow R = \begin{pmatrix}24 \\4\end{pmatrix} \rightarrow \text{"YE" (mot cod\.

Appliquons simplement chacune des étapes du processus de codage.

Tout d’abord, déterminons X :

Les lettres E et T son respectivement codées par les nombres 4 et 19 donc X = \begin{pmatrix}4 \\19\end{pmatrix}.

Ensuite, calculons Y = AX :

Donc Y = AX = \begin{pmatrix}4 & 1 \\3 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4 \\19\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \times 4 + 1 \times 19 \\3 \times 4 + 2 \times 19\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}35 \\50\end{pmatrix}.

Il ne reste plus qu’à déterminer R en effectuant la division euclidienne de chacun des coefficients de la matrice Y par 26 :

D’où :

  • 35 = 1 \times 26 + 9 donc r_1 = 9 ;
  • 50 = 1 \times 26 + 24 donc r_2 = 24.

D’où R = \begin{pmatrix}9 \\24\end{pmatrix}.

On peut alors établir la correspondance entre les nombres trouvés et les lettres correspondantes :

Les nombres 9 et 24 correspondent respectivement aux lettres J et Y donc ET est codé en JY.

Partie C : procédure de décodage (on conserve les mêmes notations que pour le codage)

Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y = \begin{pmatrix}y_1 \\y_2\end{pmatrix} telle que : Y = AX.

Question 1

Démontrer que : \begin{cases}5x_1 = 2y_1 - y_2 \\5x_2 = -3y_1 + 4y_2\end{cases}.

Regardez-ce qui se passe lorsque l’on met le système d’équations que l’on nous demande d’obtenir sous forme matricielle :

Bac S 2014 Spé Maths Centres étrangers Exercice 4 2014-ce-exo4s-1

Vous avez vu ? Ce que l’on nous demande en fait, c’est de prouver que 5X = BY !

Attends ! Mais ça, c’est super simple ! On nous dit dans la question que Y = AX. Et ça, ça entraîne d’après la question A. 2. d. que 5X = BY ! Donc il n’y a quasiment rien à faire !

Je ne l’aurais pas mieux dit ! :p

Y = AX donc, d’après la question A. 2. d., 5X = BY soit :
5\begin{pmatrix}x_1 \\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}~2 & -1 \\-3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1 \\y_2\end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix}5x_1 \\5x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2y_1 - y_2 \\-3y_1 + 4y_2\end{pmatrix}

Et là, le cours va nous être utile :

Deux matrices sont égales si et seulement si leurs coefficients sont deux à deux égaux.

Ici, cela veut dire que :

  • le coefficient 5x_1 est égal au coefficient 2y_1 - y_2 ;
  • le coefficient 5x_2 est égal au coefficient -3y_1 + 4y_2.

Donc on peut écrire :

Or, deux matrices sont égales si et seulement si leurs coefficients sont deux à deux égaux donc \begin{cases}5 x_1 = 2y_1 - y_2 \\5 x_2 = -3y_1 + 4y_2\end{cases}.

Question 2

En utilisant la question 1. b. de la partie A, établir que :

\begin{cases}x_1 \equiv 16y_1 + 5y_2 \\x_2 \equiv 15y_1 + 6y_2\end{cases}, modulo 26.

Là, je vais vous faire plaisir en disant ce que je vais dire : je trouve cette question pas facile du tout ! J’ai mis 3 plombes avant de comprendre comment il fallait s’y prendre !

Bon donc, j’ai pris un papier et un crayon et je me suis demandé : « qu’est-ce que je veux démontrer ? ».

Et ce que je veux démontrer, c’est que :

\begin{cases}5 x_1 = 2y_1 - y_2 \\5 x_2 = -3y_1 + 4y_2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_1 \equiv 16y_1 + 5y_2 \quad [26] \\x_2 \equiv 15y_1 + 6y_2 \quad [26]\end{cases}.

Donc, en partant du système d’équations qui se trouve à gauche, la question est de savoir comment on peut se débarrasser du 5 qui est devant x_1 et x_2.

Bah, on divise à gauche et à droite par 5 non ?

Bah non ! Parce que :

  • ça ne donnerait pas du tout les coefficients que l’on veut sur les membres de droite ;
  • ça n’introduit pas de relation de congruence.

Donc il faut utiliser autre chose. Et pour ça, l’énoncé nous aide explicitement !

En utilisant la question 1. b. de la partie A

Et que nous dit la question 1. b. de la partie A ? Elle nous dit que l’unique entier k compris entre  0 et 25 tel que 5k \equiv 1 \quad [26] est 21. Autrement dit :

5 \times 21 \equiv 1 \quad [26].

Donc, si on veut se débarrasser du 5 qui se trouve devant x_1 et x_2, il ne faut pas diviser par 5 mais multiplier par 21 :

\begin{cases}5 x_1 = 2y_1 - y_2 \\5 x_2 = -3y_1 + 4y_2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}5 \times 21x_1 = 42y_1 - 21y_2 \\5 \times 21x_2 = -63y_1 + 84y_2\end{cases}

Maintenant, il est temps d’utiliser le résultat de la question 1. b. de la partie A :

Or, d’après la question 1. b. de la partie A, 5 \times 21 \equiv 1 \quad [26] donc 5 \times 21x_1 \equiv x_1 \quad [26] et 5 \times 21x_2 \equiv x_2 \quad [26].

Après nous être intéressé au membre de gauche de chacune des équations, intéressons-nous au membre de droite en déterminant à quoi ils sont congrus modulo 26. Pour ça, il faut les écrire sous la forme 26 \times q + r avec q et r entiers relatifs, en faisant apparaître les coefficients r qui nous intéressent :

Par ailleurs :
42y_1 - 21y_2 = (26 \times 1 + 16)y_1 + (26 \times (-1) + 5)y_2
-63y_1 + 84y_2 = (26 \times (-3) + 15)y_1 + (26 \times 3 + 6)y_2

On en déduit :

Donc :
42y_1 - 21y_2 \equiv 16y_1 + 5y_2 \quad [26]
-63y_1 + 84y_2 \equiv 15y_1 + 6y_2 \quad [26]

On peut alors conclure :

D’où :
\begin{cases}x_1 \equiv 16y_1 + 5y_2 \quad [26] \\x_2 \equiv 15y_1 + 6y_2 \quad [26]\end{cases}

Question 3

Décoder le mot « QP ».

Bon, à nouveau une question difficile car il faut comprendre tout ce que l’on a fait et pourquoi on l’a fait.

La seule chose facile ici, c’est d’indiquer ce que vaut la matrice R en retrouvant les nombres correspondants aux lettres Q et P :

Les lettres Q et P sont codées respectivement par les nombres 16 et 15 donc R = \begin{pmatrix}16 \\15\end{pmatrix}.

La question est de savoir ce que l’on fait de ça. Parce que toute l’idée est de remonter vers y_1 et y_2, puis vers x_1 et x_2, mais alors, la façon de s’y prendre ne m’est pas apparue immédiatement…

La première chose à laquelle il faut penser, c’est au lien entre y_1 et r_1 d’une part, et entre y_2 et r_2 d’autre part. Dans la partie B, l’énoncé indique que :

r_1 est le reste de la division euclidienne de y_1 par 26 et r_2 le reste de la division euclidienne de y_2 par 26

Je rappelle que :

Soient a, b, q et r quatre entiers relatifs tels que b \neq 0 et 0 \leq r ~\textless ~b.
Si a = bq + r, alors r est le reste de la division euclidienne de a par b et dans ce cas, on a a \equiv r \quad [b].

Ainsi, on peut interpréter l’énoncé de la façon suivante :

Donc \begin{cases}y_1 \equiv 16 \quad [26] \\y_2 \equiv 15 \quad [26]\end{cases}.

Maintenant, comment remonte-t-on à x_1 et x_2 (ce sont eux qui nous intéressent). Eh bien, il faut utiliser la question précédente : on sait que \begin{cases}x_1 \equiv 16y_1 + 5y_2 \quad [26] \\x_2 \equiv 15y_1 + 6y_2 \quad [26]\end{cases} donc calculons ce que valent 16y_1 + 5y_2 et 15y_1 + 6y_2 modulo 26 !

On en déduit que :
16y_1 + 5y_2 \equiv 16 \times 16 + 5 \times 15 \equiv 256 + 75 \equiv 331 \quad [26]
15y_1 + 6y_2 \equiv 15 \times 16 + 6 \times 15 \equiv 240 + 90 \equiv 330 \quad [26]

Il ne reste plus qu’à faire le lien avec x_1 et x_2 :

Or, on vient de montrer que \begin{cases}x_1 \equiv 16y_1 + 5y_2 \quad [26] \\x_2 \equiv 15y_1 + 6y_2 \quad [26]\end{cases} d’où \begin{cases}x_1 \equiv 331 \quad [26] \\x_2 \equiv 330 \quad [26]\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_1 \equiv 26 \times 12 + 19 \quad [26] \\x_2 \equiv 26 \times 12 + 18 \quad [26]\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_1 \equiv 19 \quad [26] \\x_2 \equiv 18 \quad [26]\end{cases}

Or, les seuls nombres compris entre  0 et 25 qui sont congrus respectivement à 19 et 18, ce sont les nombres 19 et 18 eux-mêmes donc on peut écrire :

Or, x_1 et x_2 sont compris entre  0 et 25 donc \begin{cases}x_1 = 19 \\x_2 = 18\end{cases}.

Il ne reste plus qu’à faire la correspondance avec le tableau de lettres :

Sachant que 19 et 18 sont les codes respectifs des lettres T et S, on en déduit que le mot codé était TS.

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Spé Maths Centres étrangers Exercice 4.

Exprimez vous!