Bac S 2014 Spé Maths Polynésie Exercice 2

Enoncé

Dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissance le rang de ce jour dans le mois et numéro du mois de naissance, le rang du mois dans l’année.
Par exemple, pour une personne née le 14 mai, le numéro du jour de naissance est 14 et le numéro du mois de naissance est 5.

Partie A

Lors d’une représentation, un magicien demande aux spectateurs d’effectuer le programme de calcul (A) suivant :
« Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par 12. Prenez le numéro de votre mois de naissance et multipliez-le par 37. Ajoutez les deux nombres obtenus. Je pourrai alors vous donner la date de votre anniversaire ».
Un spectateur annonce 308 et en quelques secondes, le magicien déclare : « Votre anniversaire tombe le 1er août ! ».

Question 1

Vérifier que pour une personne née le 1er août, le programme de calcul (A) donne effectivement le nombre 308.

Appliquons les « instructions » du magicien :

Pour la personne née le 1er août, les numéros du jour et du mois de naissance sont respectivement 1 et 8.

Donc le programme de calcul (A) donne 1 \times 12 + 8 \times 37 = 12 + 296 = 308.


Question 2

a. Pour un spectateur donné, on note j le numéro de son jour de naissance, m celui de son mois de naissance et z le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul (A).
Exprimer z en fonction de j et de m et démontrer que z et m sont congrus modulo 12.

Cette fois-ci, ce ne sont plus 1 et 8 que nous manipulons, mais j et m :

En appliquant le programme de calcul (A) à j et m, on obtient z = 12j + 37m.

Reste à montrer que z et m sont congrus modulo 12. Je rappelle que :

Soient a, r, et b trois entiers relatifs avec b non nul.
On dit que « a est congru à r modulo b » ou que « a et r sont congrus modulo b » si et seulement s’il existe un entier relatif q tel que a = bq + r.

Bien sûr, cela marche aussi si on montre que r = bq + a.

Ici, on va montrer que z = 12q + m, q entier relatif. Autrement dit, il faut montrer que z est égal à 12 fois quelque chose plus m :

On a :
z = 12j + 37m = 12(j + 3m) + m

Arrivé là, ce qui est très important de faire remarquer (sinon, vous n’aurez pas tous les points), c’est que le « quelque chose » trouvé est un entier relatif :

Or, j et m sont des entiers relatifs donc j + 3m est un entier relatif

Et ce n’est que maintenant que nous pouvons conclure :

d’où z et m sont congrus modulo 12.

b. Retrouver alors la date de l’anniversaire d’un spectateur ayant obtenu le nombre 474 en appliquant le programme de calcul (A).

Savoir qu’un spectateur a obtenu le nombre 474 en appliquant le programme de calcul (A), c’est savoir que :

  • 12j + 37m = 474j et m sont respectivement son jour et son mois de naissance car le spectateur a suivi le programme de calcul (A) ;
  • 474 \equiv m \quad [12] d’après la question précédente.

Donc on peut écrire que :

Puisque le spectateur a obtenu 474 en appliquant le programme de calcul (A), on a :
\begin{cases}12j + 37m = 474 ~(L_1) \\474 \equiv m \quad [12] ~~~~(L_2)\end{cases}

Intéressons-nous à l’équation (L_2). Elle va nous permettre de déterminer m. Pour cela, demandons-nous d’abord à quoi est congru 474 modulo 12. Effectuons donc la division euclidienne de 474 par 12 :

De plus, 474 = 12 \times 39 + 6 donc 474 \equiv 6 \quad [12].

Or, votre cours vous dit que :

Si a \equiv b \quad [n] et a \equiv c \quad [n] alors b \equiv c \quad [n].

Ici, combiné à (L_2), cela donne donc :

Donc m \equiv 6 \quad [12].

Et ça, ça nous permet d’en déduire m parce que le seul nombre congru à 6 modulo 12, compris entre 1 et 12, c’est 6 !

Or, 1 \leq m \leq 12 donc, m = 6.

Il ne reste plus qu’à déterminer j en exploitant (L_1) :

On en déduit, via l’équation (L_1), que :
j = \dfrac{474 - 37m}{12} = \dfrac{474 - 37 \times 6}{12} = 21.

On peut alors conclure :

Donc le spectateur est né le 21 juin.

Partie B

Lors d’une autre représentation, le magicien décide de changer son programme de calcul. Pour un spectateur dont le numéro du jour de naissance est j et le numéro du mois de naissance est m, le magicien demande de calculer le nombre z défini par z = 12j +31m.
Dans les questions suivantes, on étudie différentes méthodes permettant de retrouver la date d’anniversaire du spectateur.

Question 1

Première méthode :
On considère l’algorithme suivant :

Bac S 2014 Spé Maths Polynésie Exercice 2 2014-po-exo2s-1

Modifier cet algorithme afin qu’il affiche toutes les valeurs de j et de m telles que 12j +31m = 503.

Examinons cet algorithme de près et apportons les modifications nécessaires.

Pour obtenir ce que l’on veut, l’idée est de parcourir toutes les valeurs de m, de  1 jusqu’à sa valeur maximale 12 et, pour chaque valeur de m, parcourir toutes les valeurs de j, de  1 à sa valeur maximale 31. Dès que 12j + 31m = 503, on affiche j et m.

Bac S 2014 Spé Maths Polynésie Exercice 2 2014-po-exo2s-3

  1. Ici, deux variables sont effectivement nécessaires :
    • la première variable, j, va contenir les valeurs successives prises par j qui, je le rappelle, représente le jour de naissance. Ce nombre étant un entier naturel, j va contenir un entier naturel donc elle doit être définie comme un entier naturel ;
    • la seconde variable, m, va elle, contenir les valeurs successives prises par m. Elle représente le mois de naissance. Ce nombre étant aussi un entier naturel, m va contenir un entier naturel donc elle doit aussi être définie comme un entier naturel.
  2. Passons maintenant à la phase de traitement.

    Attends attends… Il manque pas une phase là ? Dans tous les algorithmes que j’ai vus jusqu’à présent, il y a toujours une phase d’initialisation !

    Très bonne remarque ! Je vois que vous êtes attentif ! C’est bien ! 😉

    En fait, on fait prendre à j et à m des valeurs particulières dès leur première apparition dans la phase de traitement via les instructions « Pour » : 1 pour j et 1 pour m. A quoi cela servirait-il de les initialiser si c’est pour immédiatement écraser cette valeur lors de la phase de traitement ?…

    L’idée, c’est de calculer la somme 12j + 31m = 503 pour toutes les valeurs possibles de j et de j. Pour ce faire, on parcourt toutes les valeurs possibles de m. Pour chacune d’elles, on déroule toutes les valeurs possibles de j et on calcule la somme 12j + 31m = 503 à chaque fois qu’on change de valeur de j.

    La boucle « Pour » est idéale pour ce genre de choses : elle permet de fixer une borne de début et une borne de fin. Pour m, la borne de début est 1 et la borne de fin est 12 puisque c’est sa valeur maximale. Quant à j, ses bornes de début et de fin sont respectivement 1 et 31.

    Reste à savoir quoi mettre dans cette boucle. L’algorithme proposé par l’énoncé ne fait qu’afficher z, c’est-à-dire la somme 12j + 31m. Vous remarquerez d’ailleurs que l’énoncé n’a pas déclaré la variable z : ça, c’est une énorme erreur. La plupart des langages de programmation n’acceptent pas qu’une variable soit utilisée sans être déclarée !

    Nous, nous souhaitons autre chose, nous souhaitons afficher le couple (j;m) et ce, à une condition : que la somme 12j + 31m soit égale à 503. Il faut donc faire appel à une structure conditionnelle « Si … Sinon … ». Cela donne :

    Bac S 2014 Spé Maths Polynésie Exercice 2 2014-po-exo2s-2
    Je ne vois pas de « Sinon » ! C’est normal ?

    Oui mon capitaine ! Si le couple (j;m) ne respecte pas la condition imposée par la structure « Si », on ne fait rien. Donc il n’y a pas besoin de faire figurer un bloc « Sinon ».


Question 2

Deuxième méthode :

a. Démontrer que 7m et z ont le même reste dans la division euclidienne par 12.

Une chose à savoir sur les congruences, c’est que :

Dire que « a est congru à b modulo n », c’est dire que a et b ont le même reste dans leur division euclidienne par n.

Montrons donc que z est congru à 7m modulo 12. On va procéder comme à la première question : montrons que z est égal à 12 fois « quelque chose » plus 7m :

z = 12j + 31m = 12(j + 2m) + 7m.
Or, j et m sont des entiers relatifs donc j + 2m est un entier relatif d’où z \equiv 7m \quad [12].

On peut alors conclure :

Donc z et 7m ont le même reste dans leur division euclidienne par 12.

b. Pour m variant de 1 à 12, donner le reste de la division euclidienne de 7m par 12.

Pas de difficulté particulière ici : vous savez tous effectuer une division euclidienne :

En notant r le reste de la division euclidienne de 7m par 12, on a :
Bac S 2014 Spé Maths Polynésie Exercice 2 2014-po-exo2s-4

c. En déduire la date de l’anniversaire d’un spectateur ayant obtenu le nombre 503 avec le programme de calcul (B).

Ce qu’il faut bien comprendre de la question précédente, c’est que, si on connaît le reste de la division euclidienne de 7m par 12, alors on peut en déduire m grâce au tableau établi.

Or, on a montré à la question 2. a. que z et 7m avaient le même reste dans la division euclidienne par 12. Donc si on sait quel est le reste de la division euclidienne de z par 12, on sait par la même occasion quel est le reste de la division euclidienne de 7m par 12 et on peut alors retrouver m.

Effectuons donc la division euclidienne de z = 503 par 12 :

503 = 12 \times 41 + 11 donc le reste de la division euclidienne de z = 503 par 12 est 11 d’où, d’après la question 2. a., celui de la division euclidienne de 7m par 12 aussi.

On peut alors retrouver m en examinant le tableau établi à la question précédente :

Donc, d’après le tableau établi à la question 2. b., 7m = 35 d’où m = 5.

Reste à retrouver j en exploitant le fait que le spectateur a déroulé le programme de calcul (B) :

De plus, le spectateur a déroulé le programme de calcul (B) donc 503 = 12j + 31m d’où j = \dfrac{503 - 31m}{12} = \dfrac{503 - 31 \times 5}{12} = 29.

On peut alors conclure sur la date de naissance du spectateur :

Donc le spectateur est né un 29 mai.

Question 3

Troisième méthode :

Pour information, dans cette partie, l’énoncé déroule les étapes relatives à la résolution d’une équation diophantienne (E). Donc, dans mes explications, je vous indiquerai également à quelle étape cela correspond.

a. Démontrer que le couple (-2 ; 17) est solution de l’équation 12x + 31y = 503.

Première étape pour résoudre une équation diophantienne :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer une solution triviale à l’équation ax + by = c (E).

Ici, c’est encore plus simple : on vous donne le couple solution ! Il suffit juste de vérifier qu’il convient !

12 \times (-2) + 31 \times 17 = -24 + 527 = 503 donc le couple (-2 ; 17) est bien solution de l’équation 12x + 31y = 503.

b. En déduire que si un couple d’entiers relatifs (x ; y) est solution de l’équation 12x + 31y = 503, alors 12(x + 2) = 31(17 - y).

Cette question regroupe les étapes suivantes :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Introduire (x ; y) autre couple solution de l’équation (E).

Ici, l’énoncé introduit le couple (x;y) pour nous. Il suffit donc d’indiquer ce que cela veut dire que d’être solution de (E) :

(x ; y) est un couple solution de l’équation (E) donc 12x + 31y = 503.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Exploiter le fait que la solution triviale et le couple (x;y) introduits sont tous les deux solutions de l’équation pour en déduire une égalité.
D’où :
\begin{cases}12x + 31y = 503 \\12 \times (-2) + 31 \times 17 = 503\end{cases} \Rightarrow 12x + 31y = 12 \times (-2) + 31 \times 17
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Regrouper les termes en a d’un côté, et en b de l’autre.

Je rappelle qu’ici :

  • 12 joue le rôle de a ;
  • 31 joue le rôle de b.

On va donc regrouper les termes en 12 à gauche et les termes en 31 à droite. Cela donne :

... \Rightarrow 12(x + 2) = 31(17 - y) (E

c. Déterminer l’ensemble de tous les couples d’entiers relatifs (x ; y), solutions de l’équation 12x + 31y = 503.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Faire appel au théorème de Gauss en exploitant le fait que a et b sont premiers entre eux.

Pour ceux qui ne se souviennent pas de ce que dit le théorème de Gauss, petit rappel :

Théorème de Gauss
Soient a, b et c trois entiers relatifs non nuls.
Si a divise le produit bc et si a est premier avec b, alors a divise c.

Ici, en remarquant que :

17 - y est un entier relatif donc 31 divise 12(x + 2).

on se situe dans les conditions du théorème de Gauss avec :

  • 31 qui joue le rôle de a ;
  • 12 qui joue le rôle de b ;
  • x + 2 qui joue le rôle de c.

Donc, on peut écrire :

Or, 31 et 12 sont premiers entre eux donc 31 divise x + 2.

Un raisonnement identique nous permet d’écrire que :

De même 12 divise 17 - y.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{6}}} Exploiter les divisibilités mises en évidence à l’étape précédente pour en déduire la forme de x et de y.

Exploitons d’abord le fait que 31 divise x + 2 :

31 divise x + 2 donc il existe k \in \mathbb{Z} tel que x + 2 = 31k. D’où x = -2 + 31k.

Puis remplaçons x par son expression fraîchement trouvée dans l’égalité (E :

Donc l’égalité (E devient :
12(\underbrace{-2 + 31k}_{x} + 2) = 31(17 - y) \Leftrightarrow 12 \times 31k = 31(17 - y)

\Leftrightarrow 372k = 527 - 31y
 
\Leftrightarrow 31y = 527 - 372k
 
\Leftrightarrow y = 17 - 12k
 

On vient donc de montrer que si x et y sont des solutions de l’équation (E), alors ils s’écrivent respectivement sous la forme x = -2 + 31k et y = 17 - 12k, avec k entier relatif. Mais cela ne suffit pas ! L’étape suivante est indispensable si vous voulez avoir tous les points à cette question.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{7}}} Indiquer que réciproquement, si on remplace x et y par les expressions trouvées, l’équation (E) est bien vérifiée.

Ici, cela donne :

Réciproquement, soit k un entier relatif. On pose x = -2 + 31k et y = 17 - 12k.
12x + 31y = 12(\underbrace{-2 + 31k}_{x}) + 31(\underbrace{17 - 12k}_{y}) = -24 + 372k + 527 - 372k = 503.
Donc l’équation (E) est bien vérifiée.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{8}}} Conclure sur les solutions de l’équation (E).
Ainsi, Donc l’ensemble des solutions de l’équation  12x + 31y = 503 est \left\{(-2 + 31k ; 17 - 12k), k \in \mathbb{Z}\right\}.

d. Démontrer qu’il existe un unique couple d’entiers relatifs (x ; y) tel que 1 \leq y \leq 12.
En déduire la date d’anniversaire d’un spectateur ayant obtenu le nombre 503 avec le programme de calcul (B).

Déterminons l’entier k tel que 1 \leq y \leq 12 :

1 \leq y \leq 12 \Leftrightarrow 1 \leq 17 - 12k \leq 12

Retirons 17 « membre à membre » :

... \Leftrightarrow 1 - 17 \leq -12k \leq 12 - 17 \Leftrightarrow -16 \leq -12k \leq -5

Il ne reste plus qu’à diviser par -12 « membre à membre ». Mais attention : -12 étant négatif, cela inverse l’ordre des inégalités :

... \Leftrightarrow \dfrac{-16}{-12} \geq k \geq \dfrac{-5}{-12} \Leftrightarrow \dfrac{4}{3} \geq k \geq \dfrac{5}{12}

Maintenant que l’on sait que k est coincé entre ces bornes, on peut le déterminer :

Or \dfrac{5}{12} \simeq 0,417 et \dfrac{4}{3} \simeq 1,333 donc, comme k est un entier relatif, k = 1.

Cela nous permet de trouver x et y :

D’où :
x = -2 + 31k = -2 + 31 = 29
y = 17 - 12k = 17 - 12 = 5

On peut alors conclure sur la date de naissance du spectateur :

Donc le spectateur est né le 29 mai.

On remarque d’ailleurs que l’on trouve la même date de naissance qu’avec la seconde méthode, ce qui est très rassurant ! Si vous avez fait cet exercice seul et que vous ne trouvez pas la même valeur, posez-vous des questions !

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Spé Maths Polynésie Exercice 2.

Exprimez vous!