Bac S 2014 Spé Maths Pondichéry Exercice 3

Enoncé

Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé.
Trois marques X, Y et Z se partagent le marché. Soit n un entier naturel.

On note :

  • X_n l’évènement « la marque X est utilisée le mois n »,
  • Y_n l’évènement « la marque Y est utilisée le mois n »,
  • Z_n l’évènement « la marque Z est utilisée le mois n ».

Les probabilités des évènements X_n, Y_n, Z_n sont notées respectivement x_n, y_n, z_n.
La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.
Un acheteur de la marque X le mois n, a le mois suivant :

  • 50 % de chance de rester fidèle à cette marque,
  • 40 % de chance d’acheter la marque Y,
  • 10 % de chance d’acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Y le mois n, a le mois suivant :

  • 30 % de chance de rester fidèle à cette marque,
  • 50 % de chance d’acheter la marque X,
  • 20 % de chance d’acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Z le mois n, a le mois suivant :

  • 70 % de chance de rester fidèle à cette marque,
  • 10 % de chance d’acheter la marque X,
  • 20 % de chance d’acheter la marque Y.

Question 1

a. Exprimer x_{n+1} en fonction de x_n, y_n et z_n.
On admet que :
y_{n+1} = 0,4x_n +0,3y_n +0,2z_n et que z_{n+1} = 0,1x_n +0,2y_n +0,7z_n.

L’énoncé est sympa ! Il nous indique les expressions de y_{n+1} et z_{n+1}… et ça, c’est un indice énorme sur ce qu’on doit obtenir pour x_{n+1} : x_{n+1} va également être de la forme ax_n + by_n + cz_n !

Dans le cours, il n’y a pas 5000 formules qui donnent une probabilité sous forme de somme. En l’occurrence, la formule qui me vient à l’esprit est la formule des probabilités totales :

Soient A_1, A_2, …, A_n n événements disjoints deux à deux de l’univers \Omega tels que leur réunion forme \Omega et soit E un événement de \Omega. On a :
P(E) = P_{A_1}(E) + P_{A_2}(E) + ... + P_{A_n}(E).

Cette formule doit vous venir à l’esprit lorsque :

  • vous avez les moyens de décomposer l’univers en un nombre fini d’événements disjoints deux à deux. C’est le cas ici. En effet, l’énoncé indique que les jeunes parents n’utilisent qu’une seule marque de petits pots pour bébé : cela nous fait des événements disjoints. De plus, il n’y a que trois marques disponibles. L’univers peut donc être décomposé en 3 événements : « la marque X est utilisée le mois n », « la marque Y est utilisée le mois n » ou « la marque Z est utilisée le mois n ». Par rapport au rappel de cours, les événements X_n, Y_n et Z_n jouent donc le rôle de A_1, A_2 et A_3.
  • vous avez les moyens de calculer les probabilités de l’événement cherché conditionnées par chacun des événements de la partition ci-dessus : c’est le cas ici. En effet, on cherche à calculer x_{n+1} = P(X_{n+1}) (X_{n+1} joue donc le rôle de E) sachant que les probabilités P_{X_n}(X_{n+1}), P_{Y_n}(X_{n+1}) et P_{Z_n}(X_{n+1}) sont, comme on le verra par la suite, plutôt faciles à calculer.

Ici, cela donne donc :

La probabilité que la marque X soit utilisée au moins n+1 vaut :
P(X_{n+1}) = P_{X_n}(X_{n+1}) + P_{Y_n}(X_{n+1}) + P_{Z_n}(X_{n+1})

Or, chacune des probabilités conditionnelles peut être calculée en traduisant simplement l’énoncé. Prenons le cas de P_{X_n}(X_{n+1}) :

Un acheteur de la marque X le mois n, a le mois suivant 50 % de chance de rester fidèle à cette marque

Autrement dit, la probabilité que la marque X soit utilisée au mois n+1 sachant qu’elle était utilisée au mois n vaut 50% de la probabilité de l’utilisation de la marque X au mois n, soit 0,5x_n.

Exactement de la même façon, en traduisant les phrases suivantes de l’énoncé :

  • Un acheteur de la marque Y le mois n, a le mois suivant 50 % de chance d’acheter la marque X
  • Un acheteur de la marque Z le mois n, a le mois suivant 10 % de chance d’acheter la marque X

on obtient que P_{Y_n}(X_{n+1}) = 0,5y_n et P_{Z_n}(X_{n+1}) = 0,1z_n. Il faut donc poursuivre le calcul de la façon suivante :

... = 0,5x_n + 0,5y_n + 0,1z_n.

b. Exprimer z_n en fonction de x_n et y_n. En déduire l’expression de x_{n+1} et y_{n+1} en fonction de x_n et y_n.

L’énoncé ne donne qu’une information au mois n+1 en fonction de ce qui s’est passé le mois n. Or, ici, on nous demande d’exprimer une probabilité de rang n sans recourir au rang n+1. On ne peut donc pas utiliser l’énoncé. Il faut trouver autre chose.

Cette « autre chose », la voici. Au mois n, on n’a pas le choix : soit la marque X est utilisée, soit la marque Y, soit la marque Z. Ce sont les trois possibilités et ce sont les trois seules : ces trois événements forment l’univers. Or :

La somme des probabilités de tous les événements de l’univers vaut 1.

Donc on peut écrire :

Au mois n, soit la marque X est utilisée, soit la marque Y, soit la marque Z. Ce sont les trois possibilités et ce sont les trois seules donc P(X_n) + P(Y_n) + P(Z_n) = 1 soit x_n + y_n + z_n = 1 donc z_n = 1 - x_n - y_n.

On peut alors remplacer z_n par son expression en fonction de x_n et y_n dans les expressions de x_{n+1} et y_{n+1} :

On en déduit :

  • x_{n+1} = 0,5x_n + 0,5y_n + 0,1z_n = 0,5x_n + 0,5y_n + 0,1(1 - x_n - y_n) = 0,5x_n + 0,5y_n + 0,1 - 0,1x_n - 0,1y_n = 0,4x_n + 0,4y_n + 0,1
  • y_{n+1} = 0,4x_n +0,3y_n +0,2z_n = 0,4x_n + 0,3y_n + 0,2(1 - x_n - y_n) = 0,4x_n + 0,3y_n + 0,2 - 0,2x_n - 0,2y_n = 0,2x_n + 0,1y_n + 0,2

Question 2

On définit la suite (U_n) par U_n = \begin{pmatrix}x_n \\y_n\end{pmatrix} pour tout entier naturel n.
On admet que, pour tout entier naturel n, U_{n+1} = A \times U_n + BA = \begin{pmatrix}0,4 & 0,4 \\0,2 & 0,1\end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix}0,1 \\0,2\end{pmatrix}.
Au début de l’étude statistique (mois de janvier 2014 : n = 0), on estime que U_0 = \begin{pmatrix}0,5 \\0,3\end{pmatrix}.
On considère l’algorithme suivant :

Bac S Spé Maths Pondichéry Exercice 3 2014-po-exo3s-1

a. Donner les résultats affichés par cet algorithme pour n = 1 puis pour n = 3.

Avec de l’entraînement, vous verrez très vite quel est le but des algorithmes qui vous sont proposés. Ici, l’algorithme proposé sert à calculer U_nn est une valeur saisie par l’utilisateur.

Euh… Tu peux détailler un peu chacune des étapes de l’algorithme stp ? Ca me permettra de mieux voir comment t’en es arrivé à cette conclusion.

OK ! Allons-y pas-à-pas.

  1. Variables
     
    Cinq variables sont effectivement nécessaires :
     

    • la première variable, n, va contenir le rang saisi par l’utilisateur. Il ne bougera pas tout au long de l’algorithme. Comme il s’agit d’un rang, il va contenir un entier naturel : il doit donc être défini comme un entier naturel ;
    • la seconde variable, i, va lui contenir le rang « courant » de la suite.
       
      Attends ! C’est pas déjà le rôle de n ça ?

      Non. n contenait le rang saisi par l’utilisateur. i lui, va contenir le rang « courant », c’est-à-dire le rang qui va évoluer tout au long du traitement. Il sera augmenté à chaque passage dans la boucle « Tant que ». i va lui aussi contenir des entiers naturels donc il doit aussi être défini comme un entier naturel ;

    • les trois variables suivantes sont des matrices. Les deux premières servent à stocker les matrices A et B que mentionne l’énoncé. La troisième variable, U, va elle contenir les différents termes de la suite de matrices (U_n). Comme (U_n) est une suite de matrices, U va contenir des matrices : elle doit donc effectivement être définie comme une matrice. Bien sûr, cette variable ne contient qu’un seul terme à la fois. Si un nouveau terme vient remplacer le précédent, ce dernier est « écrasé » et « perdu à jamais ».
  2. Entrée et initialisation
     
    On passe ensuite à l’initialisation des variables qui ont été créées à l’étape 1. La question que l’on doit se poser est la suivante : « Avec quelles valeurs est-ce que je souhaite commencer à dérouler mon algorithme ? » :

    • n est saisi par l’utilisateur d’où l’instruction « Demander la valeur de n » ;
    • i contient le tout premier rang de la suite, à savoir  0 ;
    • A et B sont initialisées avec leurs valeurs qui ne changeront pas, respectivement \begin{pmatrix}0,4 & 0,4 \\0,2 & 0,1\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}0,1 \\0,2\end{pmatrix} ;
    • U est initialisée avec le terme initial de la suite, à savoir \begin{pmatrix}0,5 \\0,3\end{pmatrix}.
  3. Traitement
     
    Passons maintenant à la phase de traitement.
    L’idée, c’est de calculer un par un les termes de la suite (U_n) du rang 1 au rang n en écrasant à chaque fois la valeur de la variable U. Les instructions à dérouler pour faire cela sont identiques à chaque rang, c’est pourquoi une boucle « Tant que » est mise en place : elle permet de dérouler plusieurs fois le même ensemble d’instructions.

    Pour calculer les différents termes, l’algorithme utilise la relation de récurrence U_{n+1} = AU_n + B. Sachant que U contient la matrice U_i, pour calculer U_{i+1}, il suffit de calculer AU + B et de le stocker à nouveau dans la variable U : c’est ce que fait l’énoncé.

    OK ! Et l’instruction qui concerne i alors, elle sert à quoi ?

    En fait, si on ne rajoutait pas d’autre instruction que celle que nous venons de voir dans la boucle « Tant que », i vaudrait toujours  0 , serait toujours strictement inférieur à n, et on ne sortirait jamais de la boucle ! A chaque fois que l’on passe au calcul du terme de rang suivant, i doit être augmenté de 1. C’est à cela que sert l’instruction : on dit que i est « incrémenté ».

    J’ai une dernière petite question : pourquoi est-ce que la condition de sortie de la boucle « Tant que », c’est i ~\textless ~n et non pas i \leq n ?

    Très bonne question ! Supposons que la condition de sortie de la boucle soit i \leq n comme vous le suggérez. Dans ce cas, comme on part de i = 0, on passe dans la boucle n+1 fois :

    • lorsque l’on entre la première fois dans la boucle, i vaut  0 . On calcule alors U_1 et on le stocke dans U puis on augmente i de 1 ;
    • lorsque l’on entre la deuxième fois dans la boucle, i vaut  1 . On calcule alors U_2 et on le stocke dans U puis on augmente i de 1 ;
    • lorsque l’on entre la n+1-ième fois dans la boucle, i vaut  n . On calcule alors U_{n+1} et on le stocke dans U puis on augmente i de 1.

    Du coup, lorsque l’on sort de la boucle, c’est U_{n+1} que contient U et non pas U_n : on est passé une fois de trop dans la boucle !

  4. Sortie
     
    L’instruction inscrite dans le bloc « Sortie » sert simplement à afficher le contenu de la variable U, une fois les traitements effectués. C’est elle qui permet d’afficher U_n.

Maintenant que l’on a décortiqué l’algorithme, on peut écrire :

L’algorithme affiche la matrice U_nn est un entier naturel saisi par l’utilisateur. Donc, lorsque n vaut 1, il affiche U_1 soit :
U_1 = AU_0 + B = \begin{pmatrix}0,4 & 0,4 \\0,2 & 0,1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,5 \\0,3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0,1 \\0,2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,4 \times 0,5 + 0,4 \times 0,3 \\0,2 \times 0,5 + 0,1 \times 0,3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0,1 \\0,2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,32 \\0,13\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0,1 \\0,2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,42 \\0,33\end{pmatrix}.

Pour n = 3, l’algorithme va afficher U_3. Il faut donc calculer successivement U_2 et U_3 pour avoir les valeurs de la matrice affichée :

Pour n = 3, l’algorithme affiche U_3.
Or, U_2 = AU_1 + B = \begin{pmatrix}0,4 & 0,4 \\0,2 & 0,1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,42 \\0,33\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0,1 \\0,2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,4 \times 0,42 + 0,4 \times 0,33 \\0,2 \times 0,42 + 0,1 \times 0,33\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0,1 \\0,2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,3 \\0,117\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0,1 \\0,2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,4 \\0,317\end{pmatrix}.
D’où U_3 = AU_2 + B = \begin{pmatrix}0,4 & 0,4 \\0,2 & 0,1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,4 \\0,317\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0,1 \\0,2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,4 \times 0,4 + 0,4 \times 0,317 \\0,2 \times 0,4 + 0,1 \times 0,317\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0,1 \\0,2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,2868 \\0,1117\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0,1 \\0,2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,3868 \\0,3117\end{pmatrix}.

b. Quelle est la probabilité d’utiliser la marque X au mois d’avril ?

Sachant que le mois de janvier correspond à n = 0, le mois d’avril correspond donc à n = 3. Donc la probabilité cherchée est portée par x_3. Ca tombe bien, on vient de calculer U_3 = \begin{pmatrix}x_3 \\y_3\end{pmatrix} !

La probabilité d’utiliser la marque X au mois d’avril vaut P(X_3) = x_3 = 0,3868 d’après le calcul de la matrice U_3 effectué à la question précédente.

Question 3

Dans la suite de l’exercice, on cherche à déterminer une expression de U_n en fonction de n.
On note I la matrice \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix} et N la matrice I - A.
On désigne par C une matrice colonne à deux lignes.
a. Démontrer que C = A \times C + B équivaut à N \times C = B.

Partons de N \times C = B et voyons ce que cela donne :

N \times C = B \Leftrightarrow (I - A) \times C = B

\Leftrightarrow I \times C - A \times C = B

Or, I étant la matrice identité, on a :

Soient A une matrice carrée d’ordre n et I la matrice identité d’ordre n, I = \begin{pmatrix}1 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & 1\end{pmatrix}.
On a : A \times I = I \times A = A.

Donc ici, I \times C = C. On peut alors continuer nos équivalences de la façon suivante :

... \Leftrightarrow C - A \times C = B

\Leftrightarrow C = A \times C + B.

b. On admet que N est une matrice inversible et que N^{-1} = \begin{pmatrix}\dfrac{45}{23} & \dfrac{20}{23} \\\\\dfrac{10}{23} & \dfrac{30}{23}\end{pmatrix}.
En déduire que C = \begin{pmatrix}\dfrac{17}{46} \\\\\dfrac{7}{23}\end{pmatrix}.

Tout l’idée ici est de multiplier les deux membres de l’égalité N \times C = B à gauche par N^{-1} pour « éliminer » N. En effet, je rappelle que :

Soit A une matrice carrée d’ordre n inversible. On note A^{-1} sa matrice inverse.
On a AA^{-1} = A^{-1}A = I_nI_n est la matrice identité d’ordre n.

Cela donne :

N \times C = B \Rightarrow \underbrace{N^{-1} \times N}_{I} \times ~C = N^{-1} \times B

\Rightarrow C = N^{-1} \times B

 

\Rightarrow C = \begin{pmatrix}\dfrac{45}{23} & \dfrac{20}{23} \\\\\dfrac{10}{23} & \dfrac{30}{23}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,1 \\0,2\end{pmatrix}

 

\Rightarrow C = \begin{pmatrix}\dfrac{45}{23} \times 0,1 + \dfrac{20}{23} \times 0,2 \\\\\dfrac{10}{23} \times 0,1 + \dfrac{30}{23} \times 0,2\end{pmatrix}

 

\Rightarrow C = \begin{pmatrix}\dfrac{4,5}{23} + \dfrac{4}{23} \\\\\dfrac{1}{23} + \dfrac{6}{23}\end{pmatrix}

 

\Rightarrow C = \begin{pmatrix}\dfrac{8,5}{23} \\\\\dfrac{7}{23}\end{pmatrix}

 

\Rightarrow C = \begin{pmatrix}\dfrac{17}{46} \\\\\dfrac{7}{23}\end{pmatrix}

Question 4

On note V_n la matrice telle que V_n = U_n - C pour tout entier naturel n.

a. Montrer que, pour tout entier naturel n, V_{n+1} = A \times V_n.

Calculons A \times V_n et voyons ce qui se passe :

A \times V_n = A(U_n - C) = AU_n - AC

Or :

  • AU_n + B = U_{n+1} donc AU_n = U_{n+1} - B ;
  • C = AC + B donc AC = C - B.

D’où :

... = U_{n+1} - B - (C - B) = U_{n+1} - B - C + B = U_{n+1} - C = V_{n+1}.

b. On admet que U_n = A^n \times (U_0 - C) + C.
Quelles sont les probabilités d’utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai ?

Franchement, j’ai horreur de cette question que je trouve complètement inintéressante. C’est que du calcul dégueulasse, avec des chiffres partout et toutes les chances de faire des erreurs.

Le mois de mai correspond à n = 4 donc :

Le mois de mai correspond à n = 4 donc calculons U_4. D’après la formule admise par l’énoncé, on a :
U_4 = A^4 \times (U_0 - C) + C.

La seule difficulté ici consiste à calculer A^4. Allons-y calmement en passant par A_2 et A_3 :

A^2 = \begin{pmatrix}0,4 & 0,4 \\0,2 & 0,1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,4 & 0,4 \\0,2 & 0,1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,4 \times 0,4 + 0,4 \times 0,2 & 0,4 \times 0,4 + 0,4 \times 0,1 \\0,2 \times 0,4 + 0,1 \times 0,2 & 0,2 \times 0,4 + 0,1 \times 0,1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,24 & 0,2 \\0,1 & 0,09\end{pmatrix}
A^3 = A^2 A = \begin{pmatrix}0,24 & 0,2 \\0,1 & 0,09\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,4 & 0,4 \\0,2 & 0,1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,24 \times 0,4 + 0,2 \times 0,2 & 0,24 \times 0,4 + 0,2 \times 0,1 \\0,1 \times 0,4 + 0,09 \times 0,2 & 0,1 \times 0,4 + 0,09 \times 0,1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,136 & 0,116 \\0,058 & 0,049\end{pmatrix}
A^4 = A^3 A = \begin{pmatrix}0,136 & 0,116 \\0,058 & 0,049\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,4 & 0,4 \\0,2 & 0,1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,136 \times 0,4 + 0,116 \times 0,2 & 0,136 \times 0,4 + 0,116 \times 0,1 \\0,058 \times 0,4 + 0,049 \times 0,2 & 0,058 \times 0,4 + 0,049 \times 0,1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,0776 & 0,066 \\0,033 & 0,0281\end{pmatrix}

Ensuite, calculons U_0 - C :

De plus, U_0 - C = \begin{pmatrix}0,5 \\0,3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\dfrac{17}{46} \\\\\dfrac{7}{23}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} - \dfrac{17}{46} \\\\\dfrac{3}{10} - \dfrac{7}{23}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{6}{46} \\\\-\dfrac{1}{230}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{3}{23} \\\\-\dfrac{1}{230}\end{pmatrix}

On peut alors finir le calcul de U_4 :

Donc U_4 = \begin{pmatrix}0,0776 & 0,066 \\0,033 & 0,0281\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{3}{23} \\\\-\dfrac{1}{230}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\dfrac{17}{46} \\\\\dfrac{7}{23}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,0776 \times \dfrac{3}{23} + 0,066 \times \left(-\dfrac{1}{230}\right) + \dfrac{17}{46} \\\\0,033 \times \dfrac{3}{23} + 0,0281 \times \left(-\dfrac{1}{230}\right) + \dfrac{7}{23}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,3794 \\0,30853\end{pmatrix}.

Comme U_4 = \begin{pmatrix}x_4 \\y_4\end{pmatrix}, on en déduit les probabilités cherchées :

Donc les probabilités d’utiliser, au mois de mai :

  • la marque X vaut x_4 = 0,3794 ;
  • la marque Y vaut y_4 = 0,30853 ;
  • la marque Z vaut z_4 = 1 - x_4 - y_4 = 1 - 0,3794 - 0,30853 = 0,31207.

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Spé Maths Pondichéry Exercice 3.

Exprimez vous!