Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 1

Enoncé

Les résultats des probabilités seront arrondis à 10^{-3} près.

Partie 1

Question 1

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre \lambda, où
\lambda est un réel strictement positif donné.
On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction f définie sur [0 ; +\infty[ par

f(x) = \lambda e^{-\lambda x}.

a. Soit c et d deux réels tels que 0 \leq c~\textless ~d.
Démontrer que la probabilité P(c \leq X \leq d) vérifie

P(c \leq X \leq d) = e^{-\lambda c} - e^{-\lambda d}.

Oh la belle question de cours ! :p Pour y répondre, il suffit de savoir que :

Soient a et b deux réels tels que a \leq b.
Dire qu’une variable aléatoire suit une loi de densité f, c’est dire que P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x)\, dx.

Donc on peut écrire :

Puisque x suit une loi de probabilité de densité f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, on a :
P(c \leq X \leq d) = \int_{c}^{d} f(x)\, dx = \int_{c}^{d} \lambda e^{-\lambda x}\, dx

Pour calculer une intégrale, il faut s’entraîner à repérer les formes de primitives usuelles :

Pour déterminer la primitive d’une fonction, vous devez chercher à reconnaître les formes du type :

  •  u,  n \in \mathbb{N} , dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{n + 1} u^{n+1} + k, k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{u} + k,  k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{n-1}\dfrac{1}{u^{n-1}} + k ,  k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  2\sqrt{u} + k ,  k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  \ln u + k ,  k \in \mathbb{R}
  •  u , dont la primitive est de la forme  e^{u} + k ,  k \in \mathbb{R}
  • et si on sait déterminer facilement une primitive U d’une fonction u,  u(ax + b) , dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{a}U(ax + b) + k ,  k \in \mathbb{R}

Ici, on reconnaît la forme -u avec u : x \mapsto -\lambda x

Euh… bah… elle est pas dans ton tableau la forme -u ! Y’a que la forme u !

Bah c’est pas grave ! Il suffit de laisser un signe « – » devant notre primitive :

... = \left[-e^{-\lambda x}\right]_c^d = -e^{-\lambda d} - (-e^{-\lambda c}) = e^{-\lambda c} - e^{-\lambda d}.

b. Déterminer une valeur de \lambda à 10^{-3} près de telle sorte que la probabilité P(X ~\textgreater ~20) soit égale à 0,05.

Toute l’idée est de savoir comment on va pouvoir se servir du résultat de la question précédente… Autrement dit, il faut réussir à introduire une expression de la forme P(c \leq X \leq d).

On est mal barrés… on n’a même pas de signe « \leq » !

Pas mal, cette observation ! Eh bien, introduisons-en un en passant par l’événement contraire ! Quel est l’événement contraire de X ~\textgreater ~20 ?

L’événement X \leq 20 ?

Exactement :

P(X ~\textgreater ~20) = 0,05 \Leftrightarrow 1 - P(X \leq 20) = 0,05

\Leftrightarrow P(X \leq 20) = 0,95

Et là, il convient de remarquer que X suit une loi exponentielle, donc c’est une variable aléatoire à valeurs positives. Ainsi, dire que X \leq 20, c’est dire que 0 \leq X \leq 20 :

... \Leftrightarrow P(0 \leq X \leq 20) = 0,95 car X suit une loi exponentielle, donc c’est une variable aléatoire à valeurs positives

Maintenant, on peut appliquer le résultat de la question précédente :

... \Leftrightarrow e^0 - e^{-20 \lambda} = 0,95

\Leftrightarrow 1 - e^{-20 \lambda} = 0,95

 

\Leftrightarrow e^{-20 \lambda} = 1 - 0,95

 

\Leftrightarrow e^{-20 \lambda} = 0,05

Vous remarquerez que, dans les calculs, j’ai utilisé le résultat suivant :

e^0 = 1

Arrivé là, il faut se débarrasser de l’exponentielle. Pour ça, il y un réflexe, un seul :

  • Pour se « débarrasser » de l’exponentielle, il suffit d’appliquer la fonction logarithme népérien.
  • Pour se « débarrasser » du logarithme népérien, il suffit d’appliquer la fonction exponentielle.

Ce réflexe tient au fait que :

  • Pour tout x \in \mathbb{R}, ln~(e^x) = x ;
  • Pour tout x \in \mathbb{R_+^*}, e^{ln~x} = x.

Ici, cela donne :

... \Leftrightarrow -20 \lambda = ln~0,05

\Leftrightarrow \lambda = \dfrac{ln~0,05}{-20}

 

\Leftrightarrow \lambda = 0,150 à 10^{-3} près.

c. Donner l’espérance de la variable aléatoire X.

A nouveau une question de cours ! Il s’agit simplement de vérifier que vous connaissez l’élément de cours suivant :

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre \lambda.
E(X) = \dfrac{1}{\lambda}

Ici, cela donne :

L’espérance de la variable aléatoire X vaut :
E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0,150} = 6,667.

Dans la suite de l’exercice on prend \lambda = 0,15.

Alors là, en lisant ça, si vous n’avez pas trouvé 0,15 pour la valeur de \lambda à la question 1. b., vous devez vous poser des questions !

d. Calculer P(10 \leq X \leq 20).

Après nous avoir fait déterminer la valeur de \lambda, l’énoncé nous demande simplement d’appliquer les résultats sur deux calculs à cette question et à la question suivante :

P(10 \leq X \leq 20) = e^{-10 \lambda} - e^{-20 \lambda} = 0,173.

e. Calculer la probabilité de l’évènement (X ~\textgreater ~18).

Une idée pour répondre à cette question ? :p

Il suffit de faire apparaître P(0 \leq X \leq 18) comme à la question 1. b. non ?

Je vois que ça commence à rentrer :

P(X ~\textgreater ~18) = 1 - P(X \leq 18)

= 1 - P(0 \leq X \leq 18) car X est une variable aléatoire à valeurs positives
= 1 - (e^0 -e^{-18\lambda})

 

= e^{-18\lambda}

 

= 0,067

Question 2

Soit Y une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 16 et d’écart-type 1,95.

Après nous avoir fait manipuler une variable aléatoire qui suivait une loi exponentielle, l’énoncé s’intéresse maintenant à une variable aléatoire qui suit une loi normale à travers deux simples questions de calcul.

a. Calculer la probabilité de l’événement (20 \leq Y \leq 21).

Dès que vous avez une question du type « Calculer P(a \leq X \leq b) », vous devez penser au théorème suivant :

  • P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \simeq 0,68 à 10^{-2} près ;
  • P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \simeq 0,95 à 10^{-2} près ;
  • P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \simeq 0,997 à 10^{-3} près.

et vous dire « est-ce que les bornes a et b correspondent respectivement à

  • \mu - \sigma et \mu + \sigma ?
  • ou \mu - 2\sigma et \mu + 2\sigma ?
  • ou \mu - 3\sigma et \mu + 3\sigma ? »

Car, si c’est le cas, il suffit d’appliquer le rappel de cours. Sinon, il faut utiliser la calculatrice !

Ici :

  • \mu - \sigma = 16 - 1,95 = 14,05 et \mu + \sigma = 16 + 1,95 = 17,95 ;
  • \mu - 2\sigma = 16 - 2 \times 1,95 = 12,1 et \mu + 2\sigma = 16 + 2 \times 1,95 = 19,9 ;
  • ou \mu - 3\sigma = 16 - 3 \times 1,95 = 10,15 et \mu + 3\sigma = 16 + 3 \times 1,95 = 21,85.

Or :

  • 20 joue le rôle de a ;
  • 21 joue le rôle de b.

donc nous ne nous situons pas dans le cadre du rappel de cours. Il faut donc utiliser la calculatrice.

Ici, je vais vous montrer comment faire avec une TI-89 (je choisis la TI-89 parce que c’est la calculatrice que j’avais quand j’étais moi-même en Terminale) :

Commandes à effectuer Résultat obtenu
1. Allumer la calculatrice. 😀
Puis cliquer sur la touche « APPS ». Les applications installées sur la calculatrice apparaissent.
Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-9
2. Choisir Stats/List Editor et cliquer sur « ENTER ».

L’application « Stats/List Editor » est normalement incluse dans toutes les calculatrices TI-89 depuis 2004. Si ce n’est pas le cas, vous pouvez la télécharger gratuitement ici.
Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-10
3. A moins d’être un utilisateur « avancé » de la TI-89 (auquel cas vous savez quoi faire à cette étape), cliquer simplement sur « ENTER ». Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-11
4. Cliquer sur F5 > 4.
L’interface de renseignement des valeurs nécessaires au calcul de la probabilité cherchée apparaît.
Bac S Maths Antilles-Guyane Exercice 1 2014-ag-exo1-8
5. Renseigner les valeurs nécessaires.

Ici, on cherche à calculer P(15 \le T \le 20) donc :

  • Lower Value : 20 ;
  • Upper Value : 21.

De plus, il s’agit d’une loi normale d’espérance \mu = 16 et d’écart-type \sigma = 1,95 donc :

  • \mu : 16 ;
  • \sigma : 1,95.
Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 1 2015-fm-exo1-1
6. Cliquer sur « ENTER ».
La valeur cherchée est la valeur « Cdf ».
Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 1 2015-fm-exo1-2

On peut donc directement noter le résultat sur la copie :

D’après la calculatrice, la probabilité de l’événement (20 \leq Y \leq 21) vaut P(20 \leq Y \leq 21) = 0,015 à 10^{-3} près.

b. Calculer la probabilité de l’événement (Y ~\textless ~11) \cup (Y ~\textgreater ~21).

Regardez la figure ci-dessous :

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 1 2015-fm-exo1-3

Comme vous pouvez le voir, on cherche à calculer la probabilité de l’événement « bleu ». Ca tombe bien, c’est l’événement contraire de l’événement « orange » ! Donc :

P((Y ~\textless ~11) \cup (Y ~\textgreater ~21)) = 1 - P(11 \leq Y \leq 21)

Or, on peut déterminer P(11 \leq Y \leq 21) à l’aide de la calculatrice, exactement comme à la question précédente (je vous laisse le faire). On peut alors écrire :

Or, d’après la calculatrice, P(11 \leq Y \leq 21) = 0,990 à 10^{-3} près donc P((Y ~\textless ~11) \cup (Y ~\textgreater ~21)) = 1 - 0,990 =0,010 à 10^{-3} près.

Partie 2

Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d’achat à ses clients privilégiés. Chacun d’eux reçoit un bon d’achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.
Les bons d’achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.
Les bons d’achat verts prennent la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à 0,067 ou des valeurs comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici.
De façon analogue, les bons d’achat rouges prennent les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités respectivement égales à 0,015 et 0,010 ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités non précisées ici.

Question 1

Calculer la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu’il est rouge.

Cette question demande un peu d’initiative car elle nécessite que vous pensiez vous-même à construire un arbre pondéré.

Ah bon ? Et comment suis-je censé penser moi-même à faire un arbre pondéré ?

C’est un réflexe que vous devez avoir :

Dans un exercice du bac, si l’énoncé :

  • l’énoncé présente des événements et indique quelques probabilités associées ;
  • l’énoncé demande de calculer les probabilités d’intersection d’événements, de réunion d’événements, ou encore des probabilités conditionnelles

alors vous devez penser à faire un arbre pondéré.

Ici, en lisant soigneusement l’énoncé, on va :

  • nommant chacun des événements introduits par l’énoncé ;
  • construire petit-à-petit notre arbre pondéré.
Chacun d’eux reçoit un bon d’achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.
Les bons d’achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.

En lisant cela, on pose deux événements :

On pose les événements suivants :

  • V : « le client reçoit un bon d’achat de couleur verte » ;
  • R : « le client reçoit un bon d’achat de couleur rouge » ;

et on peut initier notre arbre pondéré avec deux branches :

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 1 2015-fm-exo1-4

Passons à la suite :

Les bons d’achat verts prennent la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à 0,067 ou des valeurs comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici.

La liste des événements peut alors être complétée, et l’arbre pondéré également :

On pose les événements suivants :

  • V : « le client reçoit un bon d’achat de couleur verte » ;
  • R : « le client reçoit un bon d’achat de couleur rouge » ;
  • T : « le bon d’achat a une valeur de 30 euros » (« T » pour « Trente euros ») ;
  • AV : « le bon d’achat a une valeur comprise entre 0 et 15 euros » (« AV » pour « Autre valeur Vert ») ;
  • Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 1 2015-fm-exo1-5

Hum… je vois d’où vient la valeur 0,067 vu qu’elle est indiquée par l’énoncé. Mais d’où vient la valeur 0,933 ?

Bonne question. En fait, il faut se souvenir que :

La somme des probabilités des branches qui partent d’un même sommet vaut 1.

Ici, cela donne donc que p(T) + p(AV) = 1 d’où p(AV) = 1 - p(T) = 1 - 0,067 = 0,933.

Continuons à exploiter l’énoncé pour compléter notre arbre de probabilités :

De façon analogue, les bons d’achat rouges prennent les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités respectivement égales à 0,015 et 0,010 ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités non précisées ici.

A nouveau, la liste des événements peut être complétée, et l’arbre pondéré également :

On pose les événements suivants :

  • V : « le client reçoit un bon d’achat de couleur verte » ;
  • R : « le client reçoit un bon d’achat de couleur rouge » ;
  • T : « le bon d’achat a une valeur de 30 euros » (« T » pour « Trente euros ») ;
  • AV : « le bon d’achat a une valeur comprise entre 0 et 15 euros » (« AV » pour « Autre valeur Vert ») ;
  • C : « le bon d’achat rouge a une valeur de 100 euros » (« C » pour « Cent euros ») ;
  • AR : « le bon d’achat rouge a une valeur comprise entre 10 et 20 euros » (« AR » pour « Autre valeur Rouge »).

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 1 2015-fm-exo1-6

Une idée d’où vient le 0,975 ?

Bah ouais ! La somme des probabilités des branches qui partent d’un même sommet vaut 1 donc, en partant du noeud R, p(T) + p(C) + p(AR) = 1 d’où p(AR) = 1 - p(T) - p(C) = 1 - 0,015 - 0,010 = 0,975 !

Exactement ! Je vois que ça commence à rentrer !

Voilà ! L’arbre pondéré est terminé ! Maintenant, il s’agit de l’exploiter correctement !

Ici, la question que vous devez vous poser est : « Sachant que le bon d’achat est rouge, comment peut-on obtenir une valeur supérieure ou égale à 30 euros ? ». Eh bien il n’y que deux possibilités :

  • soit le bon d’achat a une valeur de 30 euros ;
  • soit le bon d’achat a une valeur de 100 euros.

Autrement dit :

Soit E1 l’événement « le bon d’achat a une valeur supérieure ou égale à 30 euros ».
La probabilité que le bon d’achat ait une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu’il est rouge vaut :
p_R(E1) = p_R(T \cup C)

Arrivé là, on va appliquer une formule que vous connaissez tous :

p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)

Ici, cela donne :

... = p_R(T) + p_R(C) - p_R(T \cap C)
Eh ! C’est quoi ce « sachant R » que tu nous rajoutes en douce en appliquant la formule ?

Haha ! Bien vu ! J’ai le droit de faire ça parce que je me place dans l’univers « le bon d’achat est rouge ». Donc, toutes les probabilités évoquées ici sont « sachant que le bon d’achat est rouge ».

On a de la chance : les événements T et C sont disjoints donc :

Or, les événements T et C sont disjoints donc p(T \cap C) = 0 d’où :
p_R(E1) = p_R(T) + p_R(C)

Et c’est là que notre arbre pondéré va nous servir ! En effet, il faut savoir que :

Sur un arbre pondéré, la probabilité d’une branche qui relie A à B (A est à gauche, B est à droite) est p_A(B) :Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 1 2013-ce-exo1-8

Si vous savez ça, alors vous savez que les probabilités p_R(T) et p_R(C) figurent sur l’arbre pondéré (je les ai encadrées en rouge) :

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 1 2015-fm-exo1-7

On peut donc finir le calcul :

... = 0,015 + 0,010 = 0,025.

Question 2

Montrer qu’une valeur approchée à 10^{-3} près de la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros vaut 0,057.

Pour répondre à cette question, vous devez savoir exploiter l’arbre de probabilité :

Pour calculer la probabilité d’un événement à partir d’un arbre de probabilité, il suffit d’additionner les probabilités de chacun des chemins qui « mène » à cet événement.

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.

Ici, nous allons donc sommer les probabilités de trois chemins :

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 1 2015-fm-exo1-8

Donc, on peut écrire :

En exploitant l’arbre de probabilité obtenu à la question 1., la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros vaut :
p(V) = \underbrace{0,75 \times 0,067}_{\text{chemin 1}} + \underbrace{0,25 \times 0,015}_{\text{chemin 2}} + \underbrace{0,25 \times 0,010}_{\text{chemin 3}} = 0,057 à 10^{-3} près.

Pour la question suivante, on utilise cette valeur.

Question 3

Dans un des magasins de cette chaîne, sur 200 clients privilégiés, 6 ont reçu un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 €.

Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition au hasard des bons d’achats dans les différents magasins de la chaîne.
Ses doutes sont-ils justifiés ?

C’est parti pour cette question de cours classique ! Tout d’abord, apprenez par coeur ceci :

Soient X_n une variable aléatoire qui suit une loi binomiale \mathcal{B}(n,p) et F_n = \dfrac{X_n}{n} la variable aléatoire qui représente la fréquence des succès.

  • Si on cherche à vérifier une probabilité p en considérant un échantillon
    Si

    • n \ge 30
    • np \ge 5
    • n(1 - p) \ge 5

    alors l’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F_n au seuil de 95 % vaut :
    I_n = \left[p-1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}};p+1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right].

  • Si on cherche à évaluer la confiance que l’on peut accorder à une fréquence f constatée sur un échantillon pour l’étendre à la population totale
    Si

    • n \ge 30
    • nf \ge 5
    • n(1 - f) \ge 5

    alors l’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F_n au seuil de 95 % vaut :
    I_n = \left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right].

Et maintenant, voici la démarche pour répondre à cette question. Ici, le directeur du magasin s’interroge sur la probabilité de tomber sur un bon d’achat d’une valeur égale ou supérieure à 30€ à partir de l’échantillon constitué dans son magasin. Il s’agit donc de vérifier une probabilité p en considérant un échantillon :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Repérer une épreuve de Bernoulli dans la situation proposée et indiquer que l’événement dont X représente la fréquence constitue le « succès ». Introduire alors la variable aléatoire X pour représenter le nombre de succès.

Ici, on s’intéresse à la proportion des bons d’achat de valeur supérieure ou égale à 30€. Donc l’événement qui représente le succès est l’événement « Le bon d’achat a une valeur supérieure ou égale à 30€ » :

Recevoir un bon d’achat est une expérience aléatoire qui ne compte que deux issues possibles : « Le bon d’achat a une valeur supérieure ou égale à 30€ », de probabilité théorique p = 0,057 ou « Le bon d’achat a une valeur strictement inférieure à 30€ », de probabilité 1 - p = 1 - 0,057 = 0,943. Il s’agit donc d’une épreuve de Bernoulli dont le succès est l’événement « Le bon d’achat a une valeur supérieure ou égale à 30€ ». On pose X la variable aléatoire qui représente le nombre de succès.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Remarquer que cette épreuve de Bernoulli est répétée dans des conditions d’indépendance et en déduire que nous nous trouvons donc dans le cadre d’un schéma de Bernoulli.
Ici, on s’intéresse à un échantillon représentatif de 200 personnes. Donc cela peut être assimilé à 200 répétitions de l’épreuve de Bernoulli dans des conditions d’indépendance : il s’agit donc d’un schéma de Bernoulli.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} En déduire que X suit une loi binomiale dont les paramètres sont :

  • n, où n est le nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli ;
  • p, où p est la probabilité de l’événement qui a été désigné comme « succès ».
Donc X suit une loi binômiale de paramètres n = 200 et p = 0,057.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Vérifier que les conditions requises à l’application de la formule de l’intervalle de fluctuation à 95 % sont remplies, à savoir :
  • n \ge 30
  • np \ge 5
  • n(1 - p) \ge 5

Aucune difficulté ici, une fois que l’on a déterminé les paramètres de la loi binomiale :

Or :
  • n = 200 \ge 30
  • np = 200 \times 0,057 = 11,4 \ge 5
  • n(1 - p) = 200 \times (1 - 0,057) = 188,6 \ge 5
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Conclure sur l’intervalle de fluctuation.
Donc l’intervalle de fluctuation de la proportion de bons d’achats de valeur supérieure ou égale à 30€ dans un échantillon de taille 200 vaut I_n = \left[p-1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}};p+1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right] = [0,025 ; 0,089].

Maintenant que l’on a déterminé l’intervalle de fluctuation, on va pouvoir répondre :

Si, dans l’échantillon prélevé, la probabilité (respectivement la fréquence) des succès appartient à l’intervalle de fluctuation, alors la probabilité (respectivement la fréquence) annoncée pour les succès est considérée comme exacte (respectivement comme étant de confiance). Sinon, elle est considérée comme inexacte (respectivement comme n’étant pas de confiance).

Ici, on doit donc conclure par :

La fréquence des bons d’achat d’une valeur égale ou supérieure à 30€ vaut f = \dfrac{6}{200} = 0,03 \in I_n donc les doutes du directeur sont infondées.

Fin de l’épreuve du Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 1.

Commentaires

  1. MICHON a écrit:

    bonjour ,

    super votre travail irréprochable et c’est ma fille qui sort de l’X cette année m’a dit la même chose , continuez !

    quelques remarques cependant ( je reste prof , même si vous ne semblez pas les aimer désolé ) :

    il n’y a pas la possibilité d’accéder aux énoncés seuls et à mon avis c’est important car en étant tout de suite confronté aux corrigés , ça n’encourage pas à la recherche ( surtout avec les fainéants qu’on a maintenant !!)

    dans vos corrigés , vous semblez privilégier les calculatrices TI mais un élève qui a une CASIO , que fait-il ?

    • admin a écrit:

      Bonjour,

      Merci pour votre commentaire qui me fait vraiment plaisir !

      Tout d’abord, je tiens absolument à préciser que je n’ai rien contre les bons profs (je garde un excellent souvenir de mon prof de maths de Terminale et je lui suis extrêmement reconnaissant). En revanche, je méprise effectivement les mauvais profs. Je déteste ceux qui se pensent bons alors qu’ils ne sont pas pédagogues. Il faut arrêter de croire que parce qu’on est prof, alors on est bon. Il y a des bons profs et des mauvais profs, comme il y a de bons et de mauvais ingénieurs, boulangers, garagistes, avocats, …

      De même, je n’ai que dédain pour ces profs qui ne font pas l’effort de comprendre que, pour la plupart des élèves, « comprendre la beauté des maths » n’a absolument aucun intérêt. Les goûts et les couleurs, cela ne se discute pas. Personnellement, je vis très bien en sachant que certaines personnes peuvent passer des heures sur un problème de maths. Ce n’est juste pas mon cas.

      Venons-en à vos remarques sur mon site. Vous n’êtes pas le premier à me demander les énoncés seuls. Je n’ai juste pas le temps (ni la motivation, soyons francs) pour faire du copier-coller sur les 91 exercices qui sont publiés à ce jour. A l’origine, j’avais imaginé mon site en me disant que les élèves y viendraient pour chercher les réponses à un devoir maison ou à des annales non corrigées qu’ils auraient acheté. Je n’avais donc pas spécialement prévu de fournir les corrigés seuls vu que je faisais l’hypothèse qu’ils les avaient déjà…

      Quant à la calculatrice, c’est simple : je ne connais absolument rien au monde CASIO…

      A votre disposition pour discuter de ces sujets ! Je serais ravi de débattre avec vous !

      Cordialement.

Exprimez vous!