Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 2

Enoncé

Dans un repère orthonormé (O, I, J, K) d’unité 1 cm, on considère les points A(0 ; -1 ; 5), B(2 ; -1 ; 5), C(11 ; 0 ; 1), D(11 ; 4 ; 4).

Un point M se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1 cm par seconde.
Un point N se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1 cm par seconde.
À l’instant t = 0, le point M est en A et le point N est en C.

On note M_t et N_t les positions des points M et N au bout de t secondes, t désignant un nombre réel positif.
On admet que M_t et N_t ont pour coordonnées :
M_t(t ; -1 ; 5) et N_t(11 ; 0,8t ; 1 + 0,6t).

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

Question 1

a. La droite (AB) est parallèle à l’un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel?

Regardez la figure suivante :

Bac S 2013 Maths Liban Exercice 1 2013-li-exo1-1

Les droites \mathcal{D} et \mathcal{D sont parallèles. Que remarquez-vous sur les vecteurs directeurs \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{u ?

Ils sont colinéaires non ?

Exactement :

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Ah mais je ne connais pas de vecteur directeur des droites (AB), (OI), (OJ) ou (OK) !

Oh que si vous en connaissez !

\overrightarrow{\mathrm{AB}} est un vecteur directeur de la droite (AB) !
Ah ouais… Pas bête…

Voyons donc avec quel vecteur (\overrightarrow{\mathrm{OI}}, \overrightarrow{\mathrm{OJ}} ou \overrightarrow{\mathrm{OK}}) le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} est colinéaire. Je rappelle que :

Deux vecteurs de l’espace \overrightarrow{\mathrm{u}}(x;y;z) et \overrightarrow{\mathrm{u sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

Comme vous pouvez le voir, nous avons donc besoin des coordonnées de chacun de ces vecteurs. Petit rappel de cours donc :

Soient A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B) deux points de l’espace.
Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour coordonnées (x_B - x_A;y_B - y_A;z_B - z_A).

Je vous rappelle également que :

Si on se situe dans un repère nommé (O,I,J,K), alors les coordonnées des points I, J et K sont respectivement (1;0;0), (0;1;0) et (0;0;1).

Ici, on peut donc écrire :

\overrightarrow{\mathrm{AB}}(x_B - x_A;y_B - y_A;z_B - z_A)
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(2 - 0;-1 - (-1);5 - 5)
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(2;0;0)

\overrightarrow{\mathrm{OI}}(x_I - x_O;y_I - y_O;z_I - z_O)
\overrightarrow{\mathrm{OI}}(1 - 0;0 - 0;0 - 0)
\overrightarrow{\mathrm{OI}}(1;0;0)

Il n’est finalement pas nécessaire de calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{OJ}} et \overrightarrow{\mathrm{OK}} ! En effet, les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{OI}} et \overrightarrow{\mathrm{AB}} sont bien proportionnelles !

Les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{OI}} et \overrightarrow{\mathrm{AB}} sont proportionnelles donc ces deux vecteurs sont colinéaires. D’où la droite (AB) est parallèle à l’axe (OI).

b. La droite (CD) se trouve dans un plan \mathcal{P} parallèle à l’un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK).
Lequel ? On donnera une équation de ce plan \mathcal{P}.

Pour répondre à cette question, il faut savoir que :

Une droite est parallèle (= « incluse dans un plan parallèle ») à un plan \mathcal{P} si et seulement si un vecteur directeur de cette droite est parallèle au plan \mathcal{P}.

Ici, il s’agit donc de voir à quel plan le vecteur \overrightarrow{\mathrm{CD}} est parallèle. Or :

Une vecteur \overrightarrow{\mathrm{w}} est parallèle à un plan s’il s’écrit comme combinaison linéaire de deux vecteurs \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{v}} non colinéaires de ce plan, c’est-à-dire s’il existe deux réels a et b tels que \overrightarrow{\mathrm{w}} = a\overrightarrow{\mathrm{u}} + b\overrightarrow{\mathrm{v}}.

Voyons donc en fonction de quels vecteurs peut s’écrire le vecteur \overrightarrow{\mathrm{CD}}. A nouveau, un résultat de cours va nous être utile :

Soit (O ; I ; J ;K) un repère orthonormé et \overrightarrow{\mathrm{AB}} un vecteur de coordonnées (x;y;z) dans ce repère.
On a : \overrightarrow{\mathrm{AB}} = x\overrightarrow{\mathrm{OI}} + y\overrightarrow{\mathrm{OJ}} + z\overrightarrow{\mathrm{OK}}.

Calculons donc les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{CD}} :

\overrightarrow{\mathrm{CD}}(x_D-x_C;y_D-y_C;z_D-z_C)
\overrightarrow{\mathrm{CD}}(11-11;4-0;4-1)
\overrightarrow{\mathrm{CD}}(0;4;3)

On en déduit :

Donc \overrightarrow{\mathrm{CD}} = 4\overrightarrow{\mathrm{OJ}} + 3\overrightarrow{\mathrm{OK}}

D’où :

Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{CD}} s’écrit comme combinaison linéaire des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{OJ}} et \overrightarrow{\mathrm{OK}}. Or, \overrightarrow{\mathrm{OJ}} et \overrightarrow{\mathrm{OK}} sont deux vecteurs non colinéaires du plan (OJK) donc \overrightarrow{\mathrm{CD}} est parallèle au plan (OJK).

D’où la droite (CD) est incluse dans un plan parallèle au plan (OJK).

Reste à déterminer le plan dans lequel la droite (CD) est incluse. Observez la figure ci-dessous :

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 2 2015-fm-exo2-2

Comme vous pouvez le voir, le vecteur \overrightarrow{\mathrm{OI}} est orthogonal au plan (OJK) représenté en rouge. Or, le plan \mathcal{P} représenté en vert dans lequel est incluse la droite (CD) est parallèle au plan (OJK) donc le vecteur \overrightarrow{\mathrm{OI}} est aussi orthogonal à \mathcal{P} : c’est donc un vecteur normal au plan \mathcal{P}.

On connaît donc :

  • un vecteur normal au plan \mathcal{P} ;
  • un point appartenant à \mathcal{P} : le point C par exemple.

Donner une équation cartésienne d’un plan alors qu’on en connaît :

  • un vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n}}(a;b;c) ;
  • un point A(x_A;y_A;z_A) appartenant à ce plan ;

est un savoir-faire simple que vous devez maîtriser.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Indiquer que puisque le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}}(a;b;c) est normal au plan \mathcal{P}, alors le plan \mathcal{P} admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d.

Cette étape exploite le rappel de cours suivant :

Dans un repère orthonormal :

  • réciproquement, a, b, c et d étant quatre réels donnés avec a, b et c non tous nuls, l’ensemble des points M de coordonnées (x;y;z) tels que ax + by + cz + d = 0 est un plan de vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{u}}(a;b;c).

Ici, on peut donc écrire :

Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{OI}} de coordonnées (1 ; 0 ; 0) est normal au plan \mathcal{P} donc une équation cartésienne de \mathcal{P} est x + d = 0, où d est un réel à déterminer.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Exprimer le fait que le point A choisi appartient au plan \mathcal{P} pour déterminer d.

Cette fois-ci, on utilise l’élément de cours suivant :

Soit \mathcal{P} un plan de l’espace d’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 et A(x_A;y_A;z_A) un point de l’espace.
A \in \mathcal{P} si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation du plan \mathcal{P}, c’est-à-dire si et seulement si ax_A + by_A + cz_A + d = 0.

Cela donne :

De plus :
C(11;0;1) \in \mathcal{P} \Leftrightarrow x_C + d = 0

\Leftrightarrow 11 + d = 0

\Leftrightarrow d = -11
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure sur une équation cartésienne du plan \mathcal{P}.
Donc une équation cartésienne du plan \mathcal{P} est x - 11 = 0.
Pourquoi est-ce que tu dis toujours « une équation » du plan et non pas « l’équation » ?

Car il en existe une infinité ! Si je multiplie à gauche et à droite l’équation que nous avons obtenue par un nombre réel quelconque, la nouvelle équation convient toujours ! Par exemple, 2x - 22 = 0 est aussi une équation du plan \mathcal{P}.

c. Vérifier que la droite (AB), orthogonale au plan \mathcal{P}, coupe ce plan au point E(11 ; -1 ; 5).

Justifions d’abord que la droite (AB) est effectivement orthogonale au plan \mathcal{P}.

D’après la question 1. a., la droite (AB) est parallèle à la droite (OI)
Or, le vecteur \overrightarrow{\mathrm{OI}} est normal au plan \mathcal{P} donc la droite (OI) est orthogonale au plan \mathcal{P}.

On se trouve donc dans une situation qui ressemble à ceci :

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 2 2015-fm-exo2-3

Comme vous pouvez le voir, la droite (AB) est alors orthogonale au plan \mathcal{P} :

Donc la droite (AB) est orthogonale au plan \mathcal{P}.

Vérifions maintenant que le point E est bien intersection du plan \mathcal{P} et de la droite (AB).

Lorsqu’il est demandé de vérifier qu’un point est intersection de deux entités (droites ou plans), il suffit de vérifier que ce point appartient à chacun de ces deux entités.

Ici, on va donc vérifier que le point E appartient à la fois à la droite (AB) et au plan \mathcal{P}.

  • Appartenance du point E à la droite (AB)
Pour montrer qu’un point M appartient à une droite (AB), il suffit de montrer que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AE}} sont colinéaires.

Comme je l’ai rappelé à la question 1. a., pour étudier la colinéarité de deux vecteurs dans l’espace, nous avons besoin de leurs coordonnées. Nous avons déjà calculé celles du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}}, calculons donc les coordonnées des vecteurs et \overrightarrow{\mathrm{AE}} :

\overrightarrow{\mathrm{AE}}(x_E-x_A;y_E-y_A;z_E-z_A)
\overrightarrow{\mathrm{AE}}(11-0;-1-(-1);5-5)
\overrightarrow{\mathrm{AE}}(11;0;0)

En se souvenant que les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} valent (2;0;0), on peut voir que les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AE}} sont proportionnelles. En effet, il suffit de multiplier les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AE}} par \dfrac{2}{11} pour obtenir celles du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}}. On peut donc écrire :

Or les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} valent (2;0;0) donc les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AE}} sont proportionnelles. Ainsi, les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AE}} sont colinéaires.

On en déduit :

Donc le point E appartient à la droite (AB).

  • Appartenance du point E au plan \mathcal{P}
Pour montrer qu’un point M appartient à un plan \mathcal{P}, il suffit de montrer que ses coordonnées vérifient une équation cartésienne du plan \mathcal{P}.

Ici, ça tombe bien, on dispose effectivement d’une équation cartésienne du plan \mathcal{P} : x - 11 = 0. Il suffit donc de vérifier que les coordonnées du point E vérifient cette équation :

x_E - 11 = 11 - 11 = 0 donc les coordonnées du point E vérifient l’équation du plan \mathcal{P} déterminée à la question précédente.

On en déduit :

Donc le point E appartient au plan \mathcal{P}.

On peut alors conclure sur la question :

Donc le point E est point d’intersection de la droite (AB) et du plan \mathcal{P}. Autrement dit, la droite (AB), orthogonale au plan \mathcal{P}, coupe effectivement ce plan au point E(11 ; -1 ; 5).

d. Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ?

Cette question revient à déterminer l’intersection des droites (AB) et (CD). Pour ce faire, lorsqu’on dispose des représentations paramétriques des deux droites, il faut résoudre le système d’inconnues t et t qui « met en regard » les deux représentations paramétriques, l’une avec l’inconnue t, l’autre avec l’inconnue t.

Ah mais je n’ai pas les représentations paramétriques des droites (AB) et (CD) !

C’est vrai ! Heureusement que c’est super simple à déterminer quand on connaît deux points de la droite considérée ! Regardez :

Soient A(x_A;y_A;z_A) un point de l’espace et \overrightarrow{\mathrm{u}}(a;b;c) un vecteur non nul de l’espace.
Une représentation paramétrique de la droite de vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{u}} et passant par A est \begin{cases}x = x_A + ta \\y = y_A + tb, t \in \mathbb{R} \\z = z_A + tc\end{cases}.

Le truc, c’est que, comme on l’a dit au début de l’exercice, \overrightarrow{\mathrm{AB}} est un vecteur directeur de la droite (AB). Donc, en prenant \overrightarrow{\mathrm{u}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}} dans le rappel de cours ci-dessus, on obtient :

Une représentation paramétrique de la droite (AB) est \begin{cases}x = x_A + t(x_B - x_A) \\y = y_A + t(y_B - y_A), t \in \mathbb{R} \\z = z_A + t(z_B - z_A)\end{cases}.

Donc on peut écrire :

Une représentation paramétrique :

  • de la droite (AB) est \begin{cases}x = x_A + t(x_B - x_A) = 0 + t \times 2 = 2t \\y = y_A + t(y_B - y_A) = -1 + t \times 0 = -1, t \in \mathbb{R} \\z = z_A + t(z_B - z_A) = 5 + t \times 0 = 5\end{cases}.
  • de la droite (CD) est \begin{cases}x = x_C + t(x_D - x_C) = 11 + t \times 0 = 11 \\y = y_C + t(y_D - y_C) = 0 + t \times 4 = 4t.

On en déduit le système qu’il faut résoudre :

Etudions donc l’intersection de ces deux droites :

\begin{cases}2t = 11 ~~~~~~(L_1) \\-1 = 4t

Normalement, pour déterminer deux inconnues, on n’a besoin que de deux équations. Ici, on en dispose de trois.

Lorsque l’on dispose de plus d’équations que d’inconnues, il s’agit toujours d’adopter la démarche suivante :

  • déterminer les inconnues à partir d’un nombre d’équations suffisant (ici deux) ;
  • vérifier que les solutions déterminées conviennent avec les équations restantes : si elles conviennent, alors elles sont effectivement les solutions du système. Si elles ne conviennent pas, c’est que le système d’équations étudié n’admet pas de solution.

Personnellement, je choisis de déterminer t et t en m’appuyant sur les équations (L_1) et (L_2) et j’examinerai leur conformité sur (L_3) :

... \Leftrightarrow \begin{cases}t = \dfrac{11}{2} ~~({L_1}) \\\\t

Comme vous pouvez le voir, la valeur trouvée pour t grâce à (L_3) est en contradiction avec la valeur trouvée pour t grâce à (L_2) donc :

Le système d’équations n’admet pas de solution.

On en déduit :

Donc les droites (AB) et (CD) n’admettent pas d’intersection : elles ne sont pas sécantes.

Question 2

a. Montrer que M_t N_t^2 = 2t^2 - 25,2t + 138.

Oh la jolie question de cours ! Elle cherche simplement à vérifier que vous connaissez ceci :

Soient A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B) deux points de l’espace.
AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}

Ici, ça donne :

M_t N_t^2 = (x_{N_t}-x_{M_t})^2 + (y_{N_t}-y_{M_t})^2 + (z_{N_t}-z_{M_t})^2 = (11-t)^2 + (0,8t-(-1))^2 + (1+0,6t-5)^2 = (11-t)^2 + (0,8t+1)^2 + (0,6t-4)^2 = 121 - 22t + t^2 + 0,64t^2 + 1,6t + 1 + 0,36t^2 - 4,8t + 16 = 2t^2 - 25,2t + 138

b. A quel instant t la longueur M_t N_t est-elle minimale ?

Avant de nous intéresser à M_tN_t « tout court », étudions M_tN_t^2. Toute la question est donc de savoir pour quelle valeur de t le polynôme P : t \mapsto 2t^2 - 25,2t + 138 atteint son minimum. De deux choses l’une :

  • soit vous vous souvenez d’un résultat de votre cours de Première S ;
     
    Hein ? Quoi ? Non seulement il faut se souvenir de tout le cours de Terminale, mais aussi de celui de Première ?? Ils sont fous ou quoi ?
  • soit vous ne vous en souvenez pas et il y a un autre moyen (un peu plus long) de vous en sortir !
     
    Aaahhhh je préfère ça !

C’est parti pour les deux méthodes !

  • Première méthode : utilisation du cours de Première S

Ce fameux résultat de cours est le suivant :

Soient a, b et c trois réels, a non nul.
Le polynôme P : x \mapsto ax^2 + bx + c admet un extremum global en x_0 = -\dfrac{b}{2a}. Cet extremum est un

  • maximum si a est strictement négatif ;
  • minimum si a est strictement positif.

Ici, on peut donc écrire :

La fonction P : t \mapsto 2t^2 - 25,2t + 138 est un polynôme de degré 2 de la forme at^2 + bt + c avec a = 2 ~\textgreater ~0 donc, d’après le cours de Première, il admet un minimum global en t = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{(-25,2)}{2 \times 2} = \dfrac{25,2}{4} = 6,3.

On en déduit alors :

Donc la longueur M_tN_t^2 est minimale à l’instant t = 6,3 secondes.
…donc la longueur M_tN_t est minimale à l’instant t = 6,3 secondes !!

C’est vrai… mais ça se justifie !

Dire que « a^2 est minimal entraîne a est minimal » n’est possible que si a est un réel positif.

Ici, il faut donc écrire :

Or M_tN_t est une longueur donc une grandeur positive d’où la longueur M_tN_t est minimale si et seulement si la longueur M_tN_t^2 est minimale.
D’où la longueur M_tN_t est minimale à l’instant t = 6,3 secondes.

  • Seconde méthode : étude de la fonction P : t \mapsto 2t^2 - 25,2t + 138

Si vous ne vous souvenez pas du résultat de cours de Première, toute l’idée est de le retrouver en étudiant la fonction P : t \mapsto 2t^2 - 25,2t + 138 à l’aide du classique tableau de variations…

Introduisons donc la fonction P :

Soit P : t \mapsto 2t^2 - 25,2t + 138.

Calculons sa dérivée P :

Pour tout t \in \mathbb{R}, on a :
P.

Résolvons P :

Pour tout t \in \mathbb{R}, on a :
P

Ah bah ça alors, on retrouve le fameux 6,3… Le tableau de variations est immédiat :

On en déduit le tableau de variations de P :
\begin{array}{|l|ccccc|}\hline t & -\infty & & 6,3 & & +\infty \\\hline P

Du tableau de variation, on déduit :

Donc P est minimal pour t = 6,3 d’où M_tN_t^2 est minimale pour t = 6,3.

Il ne reste plus qu’à faire le lien avec M_tN_t :

Or M_tN_t est une longueur donc une grandeur positive d’où la longueur M_tN_t est minimale si et seulement si la longueur M_tN_t^2 est minimale.
D’où la longueur M_tN_t est minimale à l’instant t = 6,3 secondes.

Fin de l’épreuve du Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 2.

Exprimez vous!