Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 3 Obl

Enoncé

Question 1

Résoudre dans l’ensemble \mathbb{C} des nombres complexes l’équation (E) d’inconnue z :

z^2 - 8z + 64 = 0.

Vous devez savoir répondre à cette question les doigts dans le nez ! Tout d’abord, rappel de cours :

Soient a, b et c trois réels, a non nul.
L’équation az^2 + bz + c = 0 admet dans \mathbb{C} :

  • si \Delta ~\textgreater ~0, deux solutions réelles z_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} et z_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} ;
  • si \Delta = 0, une solution unique z_0=-\dfrac{b}{2a} ;
  • si \Delta ~\textless ~0, deux solutions complexes z_1 = \dfrac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} et z_2 = \dfrac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}.
Ca veut dire quoi, que z_1 et z_2 sont « conjuguées » déjà ?

Ca veut dire qu’ils ont la même partie réelle, mais que leurs parties imaginaires sont opposées. Autrement dit, si z_1 = a + ib, alors z_2 = a - ib.

Ainsi, la démarche pour résoudre une équation du type « az^2 + bz + c = 0 » est toujours la même :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Calculer le discriminant \Delta = b^2 - 4ac.

Ici :

  • 1 joue le rôle de a ;
  • -8 joue le rôle de b ;
  • 64 joue le rôle de c.
\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 64 = 64 - 256 = -192.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Déterminer les solutions en fonction de la valeur de \Delta.

On vient de voir que \Delta est strictement négatif, donc :

\Delta ~\textless ~0 donc l’équation (E) admet deux solutions complexes conjuguées z_1 = \dfrac{8 - i\sqrt{192}}{2} = \dfrac{8 - 8i\sqrt{3}}{2} = 4 - 4i\sqrt{3} et z_2 = 4 + 4i\sqrt{3}.
Eh, tu l’as calculée vite z_2 !

Eh oui ! Je rappelle que, lorsque \Delta est négatif, les deux solutions sont conjuguées ! Donc une fois qu’on a déterminé z_1, z_2 se déduit facilement !


Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O;\overrightarrow{\mathrm{u}};\overrightarrow{\mathrm{v}}).

Question 2

On considère les points A, B et C d’affixes respectives a = 4 + 4i\sqrt{3}, b = 4 - 4i\sqrt{3} et c = 8i.

a. Calculer le module et un argument du nombre a.

Commençons par le module de a. Pour cela, il suffit de se souvenir que :

Soit  z = a + ib . Le module de z vaut  \rho = \sqrt{a^2 + b^2} .

Pour 4 + 4i\sqrt{3}, c’est 4 qui joue le rôle de a et 4\sqrt{3} qui joue le rôle de b :

Le module de a = 4 + 4i\sqrt{3} vaut \rho = \sqrt{ 4^2 + \left(4\sqrt{3}\right)^2 } = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8.

Passons à l’argument de a.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Déterminer un argument  \theta d’un nombre complexe z de module \rho, c’est déterminer un réel \theta qui vérifie le système d’équations
 \left\lbrace \begin{array}{c}\cos \theta = \dfrac{x}{\rho} \\\sin \theta = \dfrac{y}{\rho}\end{array}\right.
Soit \theta l’argument de a = 4 + 4i\sqrt{3}. On a :
\left\lbrace \begin{array}{c}\cos \theta = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \\\\\sin \theta = \dfrac{4\sqrt{3}}{8} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.

Il ne reste plus qu’à trouver le « bon » \theta dont les valeurs de cosinus et de sinus sont celles ci-dessus. Pour cela, je vous invite retenir le schéma suivant :

Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 3 2014-fm-exo3-1
Pour chaque angle qui figure sur ce schéma, son abscisse x correspond à la valeur du cosinus de cet angle tandis que son ordonnée y correspond à la valeur du sinus de cet angle.

En ayant bien ce schéma en tête, on trouve aisément que la valeur de  \theta qui convient est  \dfrac{\pi}{3} :

Donc \theta = \dfrac{\pi}{3} [2 \pi] .
Pourquoi as-tu rajouté [2\pi] après  \dfrac{\pi}{3} ?

Comme vous l’avez sans doute remarqué, l’énoncé demande non pas « l’argument » de a mais « un argument ». C’est parce qu’il existe une infinité d’arguments possibles. Le [2\pi] est là pour signaler que  \theta = \dfrac{\pi}{3} + k \times 2\pi , quel que soit k entier relatif, conviendrait aussi (car quel que soit k, on se trouverait au même endroit sur le cercle trigonométrique).

b. Donner la forme exponentielle des nombres a et b.

Je suis un peu perdu entre la forme algébrique, la forme exponentielle et la forme trigonométrique…

OK ! Petit rappel :

Soit  z = a + ib . On note \rho et  \theta respectivement son module et son argument.

  • Notation algébrique :  z = a + ib
  • Notation trigonométrique :  z = \rho (\cos \theta + i \sin \theta)
  • Notation exponentielle :  z = \rho e^{i\theta}

Ici, l’énoncé vous donne la forme algébrique des nombres complexes a et b et vous demande de déterminer leur forme exponentielle. Pour faire cela, il faut donc calculer leur module et leur argument…

Oh bah ça alors ! C’est ce qu’on vient de faire pour a !

Eh oui ! Pour le coup, l’énoncé est franchement sympa avec nous ! Avec la question précédente, la forme exponentielle de a est immédiate :

La forme exponentielle de a est 8e^{i\dfrac{\pi}{3}}.

Reste la forme exponentielle de b

Oh non ! Faut calculer son module et son argument à lui aussi ! ça va être long !

Pas du tout ! Comme vous l’aurez sans doute remarqué, a et b (qui ne sont nul autre que les solutions z_1 et z_2 de l’équation (E)) sont conjugués ! Et ça, c’est franchement cool parce que :

Si deux nombres complexes a et b sont conjugués, alors :

  • leurs modules sont identiques;
  • leurs arguments sont opposés.

Donc la forme exponentielle de b est, elle aussi, immédiate :

Or, les nombres complexes a et b sont conjugués donc leurs modules sont identiques et leurs arguments opposés. D’où la forme exponentielle de b est 8e^{-i\dfrac{\pi}{3}}.

c. Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O dont on déterminera le rayon.

Dire que des points M_1, M_2, …, M_n sont sur un même cercle de centre O, c’est dire que OM_1 = OM_2 = ... = OM_n.

J’avoue qu’une fois encore, l’enchaînement des questions est assez logique. Savez-vous quelle est la grande utilité de la notation exponentielle ?

Non, c’est quoi ?

C’est que ça exhibe directement le module et un argument du nombre complexe représenté. Or, il se trouve que le module a une interprétation géométrique très précise :

Soit (O;\overrightarrow{\mathrm{u}};\overrightarrow{\mathrm{v}}) un repère orthonormé et M un point d’affixe z = a + ib = \rho e^{i \theta}. On a :

  • le point M a pour coordonnées (a;b) ;
  • OM = \rho = \sqrt{a^2 + b^2} ;
  • \theta = (\overrightarrow{\mathrm{u}};\overrightarrow{\mathrm{OM}}).

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 3 Obl 2015-fm-exo3-1

Ainsi, puisque a = 8e^{i\dfrac{\pi}{3}}, on en déduit directement que OA = 8. De même pour OB :

D’après la question précédente, a = 8e^{i\dfrac{\pi}{3}} et b = 8e^{-i\dfrac{\pi}{3}} donc OA = OB = 8.

Reste à calculer le module de c pour obtenir OC :

De plus, OC = |c| = \sqrt{8^2} = 8 = OA = OB.

On peut alors conclure :

Donc, les points A, B et C appartiennent au même cercle de centre O et de rayon 8.

d. Placer les points A, B et C dans le repère (O;\overrightarrow{\mathrm{u}};\overrightarrow{\mathrm{v}}).

Bon alors, puisque a = 4 + 4i\sqrt{3}, b = 4 - 4i\sqrt{3} et c = 8i, il suffit de placer les points A, B et C de coordonnées respectives (4,4\sqrt{3}), (4,-4\sqrt{3}) et (0;8).

Ce que vous dites est vrai… mais ce n’est pas la façon la plus simple de placer les points A et B ! Ici, il faut exploiter l’interprétation géométrique de la notation exponentielle !

On vient de voir à la question précédente que les points A, B appartenaient au cercle de centre O et de rayon 8. Donc, traçons ce cercle :

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 3 Obl 2015-fm-exo3-4

Ensuite, on sait que :

  • a = 8e^{i\dfrac{\pi}{3}} donc l’angle (\overrightarrow{\mathrm{u}};\overrightarrow{\mathrm{OA}}) vaut \dfrac{\pi}{3} = 60 degrés ;
  • b = 8e^{-i\dfrac{\pi}{3}} donc l’angle (\overrightarrow{\mathrm{u}};\overrightarrow{\mathrm{OB}}) vaut -\dfrac{\pi}{3} = -60 degrés.

Sachant cela, il suffit de tracer les droites (OA) et (OB) en choisissant la bonne « inclinaison » grâce à un rapporteur (en pointillés sur la figure ci-dessous). Les points A et B se situent à l’intersection de ces droites avec le cercle :

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 3 Obl 2015-fm-exo3-2

Reste le point C. Là on va effectivement exploiter la notation cartésienne : c = 8i donc le point C a pour coordonnées (0;8) :

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 3 Obl 2015-fm-exo3-3

Pour la suite de l’exercice, on pourra s’aider de la figure de la question 2. d. complétée au fur et à mesure de l’avancement des questions.

Question 3

On considère les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c.

a. Montrer que b.

Alors là, je vais vous donner une petite astuce :

  • Pour additionner ou soustraire deux nombres complexes, il faut utiliser la notation cartésienne.
  • Pour multiplier ou diviser deux nombres complexes, il faut utiliser la notation exponentielle.

Ici, pour calculer b, il faut multiplier b par e^{i \dfrac{\pi}{3}} donc on va utiliser la notation exponentielle de b.

Et la notation exponentielle de e^{i \dfrac{\pi}{3}} alors ?

Heu… e^{i \dfrac{\pi}{3}} est déjà sous la forme exponentielle r e^{i \theta}… avec r = 1 et \theta =\dfrac{\pi}{3}

Ah oui…

Eeeeenfin bref… Donc :

b

Arrivé là, il faut se rappeler que :

e^a \times e^b = e^{a + b}

On peut donc écrire :

... = 8 e^{i \left(-\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right)} = 8e^0

Sachant que :

e^0 = 1

on obtient :

... = 8.

Il s’agit maintenant de placer le point B sur la figure. Dire que l’affixe de B vaut 8, c’est dire que b = 8 + 0i donc le point B a pour coordonnées (8;0) :

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 3 Obl 2015-fm-exo3-5

b. Calculer le module et un argument du nombre a.

Ici, nous avons deux raisons d’utiliser la notation exponentielle :

  • pour calculer a, on va multiplier les nombres complexes a et e^{i \dfrac{\pi}{3}} ;
  • la notation exponentielle nous permettra d’obtenir directement le module et un argument de a.
a.

On vient d’obtenir un résultat de la forme r e^{i \theta}. Il suffit alors d’identifier :

  • r : c’est le module ;
  • \theta : c’est un argument.

Ici, r = 8 et \theta = \dfrac{2 \pi}{3} donc on peut écrire :

Donc le module de a vaut 8 et un argument de a est \dfrac{2 \pi}{3}.

Avec ces informations, on peut placer le point A :

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 3 Obl 2015-fm-exo3-6

Pour la suite on admet que a et c.

Question 4

On admet que si M et N sont deux points du plan d’affixes respectives m et n alors le milieu I du segment [MN] a pour affixe \dfrac{m+n}{2} et la longueur MN est égale à |n-m|.

a. On note r, s, et t les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A, [B et [C.
Calculer r et s. On admet que t = 2 - 2\sqrt{3} + i(2 + 2\sqrt{3}).

Appliquons la formule rappelée par l’énoncé pour déterminer les affixes des différents milieux considérés.

Vous remarquerez que, comme il s’agit d’additionner des nombres complexes, l’énoncé rappelle les affixes a et c sous leur forme cartésienne… Je dis ça, je dis rien… Donc ici, cela donne :

R est le milieu du segment [A donc :
r = \dfrac{a.

Pour information, le point d’affixe  0 , c’est le point O donc R = O. Passons à S :

S est le milieu du segment [B donc :
s = \dfrac{b.

On peut alors placer R et S :

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 3 Obl 2015-fm-exo3-7

b. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ?
Justifier ce résultat.

Pour avoir une idée de la nature du triangle RST, il nous faut placer le point T.

Oh non ! t = 2 - 2\sqrt{3} + i(2 + 2\sqrt{3}) donc les coordonnées de T sont (2 - 2\sqrt{3};2 + 2\sqrt{3}), elles n’ont rien de simple ! Et je n’ai aucune envie de déterminer la notation exponentielle de t !

Vous avez bien raison ! Il est plus simple de placer le point T en tant que milieu du segment [C. Pour ça, il va falloir placer le point C, et là, il est beaucoup plus facile de déterminer la notation exponentielle de c :

Pour conjecturer la nature du triangle RST, il reste à placer le point T, milieu du segment [C. Plaçons donc d’abord le point C :
c
Oh mais attends ! Je n’ai pas la notation exponentielle de c !

C’est vrai. Mais elle est assez simple à déterminer. En effet, on a déjà déterminé que le module de c vaut 8. Sachant que c = 8i est un imaginaire pur, cela signifie qu’il se situe sur l’axe des ordonnées et donc que l’angle (\overrightarrow{\mathrm{u}};\overrightarrow{\mathrm{OC}}) vaut \dfrac{\pi}{2} donc c = 8 e^{i\dfrac{\pi}{2}}. On peut alors poursuivre :

... = 8 e^{i\dfrac{\pi}{2}} \times e^{i\dfrac{\pi}{3}} = 8 e^{i \left(\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{3}\right)} = 8 e^{i \left(\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{3}\right)} = 8 e^{i \dfrac{2\pi + 3\pi}{6}} = 8 e^{i \dfrac{5\pi}{6}}

On voit que :

  • le module de c vaut 8 donc C appartient au cercle de centre O et de rayon 8 ;
  • un argument de c vaut \dfrac{5 \pi}{6} donc l’angle (\overrightarrow{\mathrm{u}};\overrightarrow{\mathrm{OC vaut \dfrac{5 \pi}{6}.

Cela nous permet de placer le point C :

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 3 Obl 2015-fm-exo3-8

Reste à placer T en tant que milieu du segment [C :

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 3 Obl 2015-fm-exo3-9

On peut alors tracer le triangle RST :

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 3 Obl 2015-fm-exo3-10

Alors ? Une idée sur ce triangle ?

Il est équilatéral, non ?

Exactement ! Il reste à le prouver ! Pour ça, on va calculer les longueurs RS, RT et ST en utilisant la formule rappelée par l’énoncé :

RS = |s - r| = |4 + 4i - 0| = |4 + 4i| = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}.
RT = |t - r| = |2 - 2\sqrt{3} + i(2 + 2\sqrt{3}) - 0| = \sqrt{(2 -  2\sqrt{3})^2 + (2 + 2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 -  8\sqrt{3} + 12 + 4 + 8\sqrt{3} + 12} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}.
ST = |t - s| = |2 - 2\sqrt{3} + i(2 + 2\sqrt{3}) - (4 + 4i)|

…et pour ST, je vous arrête tout de suite avant que vous ne fassiez des bêtises ! Pour calculer ce module, il faut d’abord regrouper les termes sans i d’une part, et les termes avec i d’autre part ! Ce n’est que comme ça que vous pourrez calculer le module :

... = |(2 - 2\sqrt{3} - 4) + i(2 + 2\sqrt{3} - 4)| = |(-2 - 2\sqrt{3}) + i(-2 + 2\sqrt{3})|

…et là on peut utiliser la formule du module :

... = \sqrt{(-2 - 2\sqrt{3})^2 + (-2 + 2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 8\sqrt{3} + 12 + 4 - 8\sqrt{3} + 12} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}.

La conclusion est sans appel, notre intuition était la bonne :

Donc RS = RT = ST = 4\sqrt{2} donc le triangle RST est équilatéral.

Fin de l’épreuve du Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 3 Obl.

Exprimez vous!