Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 4

Enoncé

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 4 2015-fm-exo4-5

Une municipalité a décidé d’installer un module de skateboard dans un parc de la commune.
Le dessin ci-contre en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères OAD, DD, et OAB sont des rectangles.
Le plan de face (OBD) est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).
L’unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, DD, sa longueur OD est de 20 mètres.

Le but du problème est de déterminer l’aire des différentes surfaces à peindre.

Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d’une photo par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 20] par

f(x) = (x+1)ln(x+1) - 3x + 7.

On note f la fonction dérivée de la fonction f et \mathcal{C} la courbe représentative de la fonction f dans le repère (O, I, J).

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 4 2015-fm-exo4-2

Partie 1

Question 1

Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 20], on a f.

Première question classique, un bon petit calcul de dérivée !

Pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 20], on a :
f.

Question 2

En déduire les variations de f sur l’intervalle [0 ; 20] et dresser son tableau de variation.

Eh hop ! Une étude de fonction ! Voyons ensemble les différentes étapes qui permettent d’y répondre.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer l’ensemble de définition \mathcal{D}_f de f.

Ici, l’ensemble de définition est clairement indiqué par l’énoncé. Il s’agit de l’intervalle I = [0 ; 20].

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Calculer f.

On l’a déjà fait à la question précédente : f.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Voir si le signe de f ne dépend pas d’une expression plus simple. Pour cela, il faut prouver que le facteur « qu’on peut enlever » pour obtenir l’expression plus simple est strictement positif sur cet intervalle.

Ici, il n’y pas de facteur strictement positif dans l’expression de f. On peut donc ignorer cette étape.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Calculer les racines de f ou, si on a montré auparavant que le signe de f ne dépendait que du signe d’une fonction u, calculer les racines de u.
Tu peux me rappeler ce que ça veut dire « calculer les racines » d’une fonction stp ?

Pas de problème, je suis là pour répondre à vos questions :

« Calculer les racines d’une fonction f » signifie « Résoudre f(x)=0« .

Ici, cela donne :

Pour tout x \in \mathbb{R},
f

\Leftrightarrow ln(x + 1) = 2

Arrivé là, il faut se débarrasser du logarithme népérien. Pour ça, il y un réflexe, un seul :

  • Pour se « débarrasser » de l’exponentielle, il suffit d’appliquer la fonction logarithme népérien.
  • Pour se « débarrasser » du logarithme népérien, il suffit d’appliquer la fonction exponentielle.

Ce réflexe tient au fait que :

  • Pour tout x \in \mathbb{R}, ln~(e^x) = x ;
  • Pour tout x \in \mathbb{R_+^*}, e^{ln~x} = x.

Ici, cela donne :

... \Leftrightarrow e^{ln(x + 1)} = e^{2}

\Leftrightarrow x + 1 = e^2

 

\Leftrightarrow x = e^2 - 1
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Déterminer le signe de g ou, si on a montré auparavant que le signe de g ne dépendait que du signe d’une fonction u, déterminer le signe de u.
Ah il faut faire un tableau de signes ?

Eh non. Un tableau de signes, ça marche bien quand on a un produit ou un quotient de facteurs. Ici, on a affaire à une somme. Du coup, on n’a pas d’autre choix que de résoudre les inéquations f et f.

Commençons par l’inéquation f :

Pour tout x \in \mathbb{R},
f

\Leftrightarrow ln(x+1) \leq 2

A nouveau, il faut se débarrasser du logarithme népérien. On va donc appliquer le réflexe précédent. Mais attention, on a affaire ici, non plus à une égalité mais à une inégalité. Cela rajoute une « difficulté » supplémentaire :

Dès lors que l’on applique une fonction de part et d’autre d’une inégalité, il faut se demander si l’ordre est conservé ou inversé :

  • si la fonction appliquée est croissante, l’ordre est conservé ;
  • si la fonction appliquée est décroissante, l’ordre est inversé.

Or :

La fonction exponentielle est strictement croissante sur son ensemble de définition \mathbb{R}.

Donc, en l’appliquant à l’inégalité, le sens de cette dernière est conservé :

... \Leftrightarrow e^{ln(x+1)} \leq e^2 car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}

\Leftrightarrow x+1 \leq e^2

 

\Leftrightarrow x \leq e^2 - 1

Exactement de la même façon, on doit résoudre l’inéquation f :

Pour tout x \in \mathbb{R},
f

\Leftrightarrow ln(x+1) \geq 2

 

\Leftrightarrow e^{ln(x+1)} \geq e^2 car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}

 

\Leftrightarrow x+1 \geq e^2

 

\Leftrightarrow x \geq e^2 - 1

Finalement, on a donc :

Donc, pour tout x \in ]-\infty ; e^2 - 1], f et, pour tout x \in [e^2 - 1 ; +\infty[, f.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{6}}} Calculer les valeurs de f auxquelles f s’annule.

Ici, on sait que f ne s’annule qu’en e^2 - 1 sur [0 ; 20] donc on calcule f\left(e^2 - 1\right) :

f\left(e^2 - 1\right) = ((e^2 - 1)+1)ln((e^2 - 1)+1) - 3(e^2 - 1) + 7 = e^2 ln(e^2) - 3(e^2 - 1) + 7 = 2e^2 - 3e^2 + 3 + 7 = -e^2 + 10.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{7}}} Calculer les limites de f

  • aux bornes de son ensemble de définition
  • lorsque x tend vers une valeur interdite

Ici, g est définie aux bornes de son ensemble de définition. « Calculer les limites aux bornes de son ensemble de définition » revient donc simplement à calculer la valeur de g à chacune de ces bornes :

f(0) = (0+1)ln(0+1) - 3 \times 0 + 7 = ln~1 + 7 = 7
f(20) = (20+1)ln(20+1) - 3 \times 20 + 7 = 21 ln~21 - 60 + 7 = 21 ln~21 - 53

Vous remarquerez que j’ai utilisé les propriétés suivantes pour effectuer ces calculs :

ln~1 = 0

Il n’y a pas d’autre limite à calculer puisque f n’admet pas de valeur interdite sur [0 ; 20].

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{8}}} Etablir le tableau de variations de f en retenant que :

  • si f est strictement positive sur un intervalle, alors g est strictement croissante ;
  • si f est strictement négative sur un intervalle, alors g est strictement décroissante.
\begin{array}{|l|ccccc|}\hline x & 0 & & e^2 - 1 & & 20 \\\hline f

Question 3

Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathcal{C} au point d’abscisse  0 .
La valeur absolue de ce coefficient est appelée l’inclinaison du module de skateboard au point B.

Alors là, vous devez pouvoir répondre à cette question en moins de temps qu’il ne faut pour dire « Je mange une pomme ». En effet, je suppose que vous savez tous par coeur que :

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point d’abscisse a est f.

Cela donne :

f donc f d’où le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point d’abscisse  0 vaut -2.

Question 4

On admet que la fonction g définie sur l’intervalle [0; 20] par

g(x) = \dfrac{1}{2} (x+1)^2 ln(x+1) - \dfrac{1}{4} x^2 - \dfrac{1}{2} x

a pour dérivée la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 20] par g.
Déterminer une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0; 20].

Dire que la fonction x \mapsto \dfrac{1}{2} (x+1)^2 ln(x+1) - \dfrac{1}{4} x^2 - \dfrac{1}{2} x a pour dérivée x \mapsto (x+1) ln(x+1), c’est dire que x \mapsto \dfrac{1}{2} (x+1)^2 ln(x+1) - \dfrac{1}{4} x^2 - \dfrac{1}{2} x est une primitive de x \mapsto (x+1) ln(x+1). Ainsi, il est assez facile de trouver une primitive de f :

Une primitive de la fonction f sur [0;20] est :
F(x) = \dfrac{1}{2} (x+1)^2 ln(x+1) - \dfrac{1}{4} x^2 - \dfrac{1}{2} x - 3 \dfrac{x^2}{2} + 7x = \dfrac{1}{2} (x+1)^2 ln(x+1) - \dfrac{7}{4} x^2 + \dfrac{13}{2} x.

Partie 2

Les trois questions de cette partie sont indépendantes.

Question 1

Les propositions suivantes sont-elles exactes? Justifier les réponses :

  • P_1 : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.
  • P_2 : L’inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu’en C.

 

  • Proposition P_1

Reformulons la question. Puisque le profil de la piste est représenté par la fonction f, il s’agit simplement de savoir si la différence entre sa valeur maximale et sa valeur minimale est supérieure à 8. Or, le tableau de variations déterminé à la question 2 de la partie 1 nous permet de dire que, sur son intervalle de définition [0;20] :

  • f est maximale pour x = 20 et vaut alors 21 ln(21) - 53 ;
  • f est minimale pour x = e^2 - 1 et vaut alors 10 - e^2.

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 4 2015-fm-exo4-3

Donc on peut écrire :

D’après le tableau de variations déterminé à la question 2 de la partie 1, sur son intervalle de définition [0;20] :

  • f est maximale pour x = 20 et vaut alors 21 ln(21) - 53 ;
  • f est minimale pour x = e^2 - 1 et vaut alors 10 - e^2.

Donc la différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste vaut (21 ln(21) - 53) - (10 - e^2) \simeq 8,32 \geq 8. D’où la proposition P_1 est vraie.

  • Proposition P_2

Le mot « inclinaison » doit immédiatement vous faire penser à « pente de la tangente ». Ici, il s’agit donc de voir si la pente de la tangente à \mathcal{C} au point B d’abscisse  0 est presque égal à deux fois celle de la tangente à \mathcal{C} au point C d’abscisse 20.

Or :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et a un réel appartenant à I.
Soit \mathcal{C} la courbe représentative de la fonction f sur I.

La pente de la tangente à \mathcal{C} au point d’abscisse a vaut f.

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 4 2015-fm-exo4-4

On peut donc écrire :

La pente de la tangente à \mathcal{C} vaut :

  • au point B : f ;
  • au point C : f.

D’où la conclusion :

En valeur absolue, |f est presque égal à |2f donc l’inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu’en C : la proposition P_2 est vraie.
Pourquoi précises-tu « en valeur absolue » ?

Parce que ce serait faux de dire que -2 est plus grand que 1,04 ! Je rappelle qu’un nombre négatif est toujours plus petit qu’un nombre positif…


Question 2

On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d’une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m2 par litre.
Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.

Observez la figure ci-dessous :

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 4 2015-fm-exo4-6

Ce que l’on veut, c’est peindre les 4 aires colorées.

  • Calcul de l’aire \mathcal{A}_1

L’aire \mathcal{A}_1, on veut la peindre deux fois. C’est l’aire sous la courbe \mathcal{C} représentative de la fonction f… Je dis ça, je dis rien…

Ah mais oui ! L’aire sous la courbe \mathcal{C} représentative de la fonction f, c’est l’intégrale de f sur l’intervalle [0 ; 20] !

Exactement ! Pour ceux qui ne voient pas de quoi on parle, je vous rappelle que :

L’intégrale de a à b d’une fonction f, c’est l’aire algébrique située « sous la courbe » représentative de la fonction f entre les droites d’équation x = a et x = b. Par « algébrique », on entend que cette aire est :

  • positive lorsque f est positive ;
  • négative lorsque f est négative.

Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 4 2013-an-exo4-3
Ainsi, dans la figure ci-dessus, \int_{a}^{b} f(x)\,dx est la somme algébrique des aires jaune et bleu.

En particulier, on a :

Si la fonction f est positive entre les droites d’équation x = a et x = b, l’intégrale de a à b d’une fonction f, c’est l’aire « tout court » située « sous la courbe » représentative de la fonction f entre les droites d’équation x = a et x = b.

Ici, la fonction f est effectivement positive sur son intervalle de définition [0;20] donc, on a :

L’aire OBCD vaut :
\mathcal{A}_1 = \int_{0}^{20} f(x)\,dx = [F(x)]_0^{20} = F(20) - F(0)

On a déjà calculé une primitive de f à la question 4 de la partie 1. Donc on peut directement écrire :

... = \left(\dfrac{1}{2} \times 21^2 ln(21) - \dfrac{7}{4} \times 20^2 + \dfrac{13}{2} \times 20\right) - \left(\dfrac{1}{2} \times 1^2 ln(1) - \dfrac{7}{4} \times 0^2 + \dfrac{13}{2} \times 0\right)

= \dfrac{441}{2} ln(21) - 570
  • Calcul des aires \mathcal{A}_2 et \mathcal{A}_3

Cette fois-ci, il s’agit simplement de calculer les aires des rectangles DD et OAB.

Commençons par l’aire du rectangle OAB. L’énoncé indique que DD donc on peut écrire :

OA = DD et B a pour ordonnée 7 donc OB = 7 d’où l’aire du rectangle OAB vaut \mathcal{A}_2 = OA \times OB = 10 \times 7 = 70.

Passons à l’aire du rectangle DD. L’énoncé nous indique que DD. De plus, le point C appartient à la courbe \mathcal{C} représentative de la fonction f. Or :

Un point A d’abscisse a appartient à la courbe représentative de la fonction f si et seulement si son ordonnée vaut f(a).

Donc, comme le point C a pour abscisse 20, son ordonnée vaut f(20). D’où DC = f(20). On peut donc écrire :

D’après l’énoncé, DD. De plus, le point C d’abscisse 20 appartient à la courbe \mathcal{C} représentative de la fonction f donc son ordonnée vaut f(20) d’où DC = f(20) = 21 ln(21) - 53.

On en déduit :

Donc l’aire du rectangle DD vaut \mathcal{A}_3 = DD.
  • Calcul du nombre de litres de peinture nécessaires

Muni des calculs précédents, on peut déterminer la surface à peindre :

Ainsi, la surface à peindre vaut 2\mathcal{A}_1 + \mathcal{A}_2 + \mathcal{A}_3 = 2\left(\dfrac{441}{2} ln(21) - 570\right) + 70 + 210 ln(21) - 530 = 651ln(21) - 1600.

Et comme un pot de peinture permet de peindre 5 m2, il suffit de diviser le résultat obtenu par 5 pour avoir le nombre de pots de peinture nécessaires :

Or \dfrac{651ln(21) - 1600}{5} \simeq 76,4
…donc il faut 76,4 litres de peinture !

Eh non ! L’énoncé demande un résultat au litre près…

Ah ! Donc il faut 76 litres !

Non plus ! 76 litres ne seront pas suffisants ! Il faut arrondir à l’entier supérieur !

... \simeq 77 arrondi à l’entier supérieur.
Donc, il faut 77 litres de peinture au minimum.

Question 3

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 4 2015-fm-exo4-7

On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.
Afin de déterminer une valeur approchée de l’aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O, I, J) du plan de face, les points B_k(k;f(k)) pour k variant de  0 à 20.
Ainsi, B_0 = B.

On décide d’approcher l’arc de la courbe \mathcal{C} allant de B_k à B_{k+1} par le segment [B_k B_{k+1}].
Ainsi l’aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type B_k B_{k+1}B (voir figure).

a. Montrer que pour tout entier k variant de  0 à 19, B_k B_{k+1} = \sqrt{1 + (f(k+1)-f(k))^2}.

Cette question est moins difficile qu’il n’y paraît. En effet, on nous demande de calculer la longueur B_k B_{k+1} en connaissant les coordonnées des points B_k et B_{k+1}.

Pour calculer une longueur AB en connaissant les coordonnées des points A et B, la formule suivante doit immédiatement vous venir à l’esprit :

Soient A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) deux points du plan.
AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}.

Ici :

  • par définition, le point B_k a pour coordonnées (k;f(k)) ;
  • donc le point B_{k+1} a pour coordonnées (k+1;f(k+1)).

Donc on peut écrire :

B_k B_{k+1} = \sqrt{(x_{B_{k+1}} - x_{B_{k}})^2 + (y_{B_{k+1}} - y_{B_{k}})^2}

= \sqrt{(k+1 - k)^2 + (f(k+1)-f(k))^2}

 

= \sqrt{1 + (f(k+1)-f(k))^2}

b. Compléter l’algorithme suivant pour qu’il affiche une estimation de l’aire de la partie roulante.

Variables S : réel
K : entier
f : définie par f(x) = (x+1)ln(x+1)-3x+7
Traitement S prend pour valeur  0
Pour K variant de … à …

S prend pour valeur ……

Fin Pour

Sortie Afficher …

Alors, pour comprendre compléter l’algorithme, je vous ai fait un joli petit dessin :

Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 4 2015-fm-exo4-8

Toute l’idée est de stocker dans la variable S la somme de chacune des aires des rectangles colorés. Je n’en ai représenté que 3. Mais en réalité, il y en a 20.

Euh… Comment sais-tu qu’il y en a 20 ?

Eh bien je le sais parce qu’il y en a un :

  • « entre les abscisses x=0 et x=1 » ;
  • « entre les abscisses x=1 et x=2 » ;
  • … ;
  • « entre les abscisses x=k et x=k+1 » ;
  • … ;
  • « entre les abscisses x=19 et x=20 ».

Si vous comptez bien, cela en fait 20 en tout. Par ailleurs, vous remarquerez que ces rectangles :

  • ont tous la même longueur BB ;
  • ont pour largeur B_KB_{K+1}, K variant de  0 à 19.

Ainsi, le K-ième rectangle a pour aire 10 B_KB_{K+1} = 10\sqrt{1 + (f(K+1)-f(K))^2}.

Au début, S vaut  0 . Quand :

  • K=0, on affecte à S la valeur qu’il avait à laquelle on ajoute 10 B_0B_1 = 10\sqrt{1 + (f(1)-f(0))^2} ;
  • K=1, on affecte à S la valeur qu’il avait à l’étape précédente, à laquelle on ajoute 10 B_1B_2 = 10\sqrt{1 + (f(2)-f(1))^2} ;
  • … ;
  • K=19, on affecte à S la valeur qu’il avait à l’étape précédente, à laquelle on ajoute 10 B_{19}B_{20} = 10\sqrt{1 + (f(20)-f(19))^2}.

Autrement dit, quand K = k, il faut affecter à S la valeur qu’il avait à l’étape précédente à laquelle on ajoute 10 B_{k}B_{k+1} = 10\sqrt{1 + (f(k+1)-f(k))^2}, et ce, pour k variant de  0 à 19.

Donc l’algorithme doit être complété de la façon suivante :

Variables S : réel
K : entier
f : définie par f(x) = (x+1)ln(x+1)-3x+7
Traitement S prend pour valeur  0
Pour K variant de 0 à 19

S prend pour valeur S + 10\sqrt{1+(f(k+1)-f(k))^2}

Fin Pour

Sortie Afficher S

Fin de l’épreuve du Bac S 2015 Maths France Métropole Exercice 4.

Commentaires

  1. elisa a écrit:

    très bon travail,on comprend bien grâce à vos explications,c’est toooooop

    • admin a écrit:

      Merci pour le compliment ! N’hésite pas à poser des questions si tu as besoin de précisions :)

Exprimez vous!