Bac S 2015 Maths Liban Exercice 2

Enoncé

On définit la suite (u_n) de la façon suivante : pour tout entier naturel n, u_n = \int_{0}^{1} \dfrac{x^n}{1+x}\,dx.

Question 1

Calculer u_0 = \int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+x}\,dx.

Pour calculer une intégrale, il faut s’entraîner à repérer les formes de primitives usuelles :

Pour déterminer la primitive d’une fonction, vous devez chercher à reconnaître les formes du type :

  •  u,  n \in \mathbb{N} , dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{n + 1} u^{n+1} + k, k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{u} + k,  k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{n-1}\dfrac{1}{u^{n-1}} + k ,  k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  2\sqrt{u} + k ,  k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  \ln u + k ,  k \in \mathbb{R}
  •  u , dont la primitive est de la forme  e^{u} + k ,  k \in \mathbb{R}
  • et si on sait déterminer facilement une primitive U d’une fonction u,  u(ax + b) , dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{a}U(ax + b) + k ,  k \in \mathbb{R}

Alors ? Quelle forme reconnaissez-vous ?

La forme \dfrac{u avec u : x \mapsto 1+x.

Exactement ! Une primitive de x \mapsto \dfrac{1}{1+x} est donc ln(1+x). Cela donne :

u_0 = \int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+x}\,dx = \left[ln(1+x)\right]_0^1 = ln~2 - ln~1

Or :

ln~1 = 0

Donc on peut terminer le calcul ainsi :

... = ln~2.

Question 2

a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, u_{n+1} + u_n = \dfrac{1}{n+1}.

Ecrivons tranquillement ce que représente u_{n+1} + u_n. Vous verrez, cela va se simplifier agréablement :

Pour tout n entier naturel, on a :
u_{n+1} + u_n = \int_{0}^{1} \dfrac{x^{n+1}}{1+x}\,dx + \int_{0}^{1} \dfrac{x^{n}}{1+x}\,dx = \int_{0}^{1} \dfrac{x^{n+1}+x^n}{1+x}\,dx

Arrivé là, on dégaine le réflexe suivant :

Dès qu’on peut factoriser une expression, on le fait !

Donc :

... = \int_{0}^{1} \dfrac{x^{n}(1+x)}{1+x}\,dx

Et là, on a bien de la chance, les 1+x se simplifient, ce qui nous permet de finir le calcul :

... = \int_{0}^{1} \dfrac{x^{n}}\,dx = \left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 = \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{0}{n+1} = \dfrac{1}{n+1}.

b) En déduire la valeur exacte de u_1.

Bon bah il suffit d’appliquer la relation démontrée à la question précédente avec n = 0 :

D’après la question précédente, u_1 + u_0 = 1 donc u_1 = 1 - u_0 = 1 - ln~2.

Question 3

a) Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche en sortie le terme de rang n de la suite (u_n)n est un entier naturel saisi en entrée par l’utilisateur.

Bac S 2015 Maths Liban Exercice 2 2015-li-exo2-1

Pour répondre à cette question, examinons de plus près l’algorithme.

  1. Variables
    Ici, trois variables sont effectivement nécessaires :

    • la première variable, i, va contenir le rang « courant » de la suite. C’est lui qui va évoluer à chaque fois que l’on va calculer un terme de la suite. Le rang étant un entier naturel, i va contenir un entier naturel donc il doit être défini comme un entier naturel.
    • la deuxième variable, n, va contenir le rang de la suite demandé par l’utilisateur. Contrairement à i, lui, n’évoluera pas tout au long de l’exécution de l’algorithme. Comme pour i, n va contenir un entier naturel donc il doit être défini comme un entier naturel.
    • la troisième variable, u, va contenir les différents termes de la suite. Comme (u_n) est une suite réelle, u va contenir des valeurs réelles : il doit donc être défini comme un réel. Bien sûr, cette variable ne contient qu’un seul terme à la fois. Si un nouveau terme vient remplacer le précédent, ce dernier est « écrasé » et « perdu à jamais » ;
  2. Entrée
    Souvent, cette étape est comprise dans la phase « Initialisation ». Ici, l’énoncé choisit d’en faire une section « à part ». Il s’agit simplement d’indiquer l’instruction qui va permettre à l’utilisateur de saisir n.

  3. Initialisation
    On passe ensuite à l’initialisation de la variable u. La question que l’on doit se poser est la suivante : « Avec quelles valeurs est-ce que je souhaite commencer à dérouler mon algorithme ? ». Or, la variable u va contenir les valeurs de la suite (u_n) donc elle doit bien sûr être initialisée avec la première valeur de (u_n), à savoir ln~2. On peut donc commencer à compléter l’algorithme :

    Affecter à u la valeur ln~2
    Et la variable i alors ? Pourquoi on ne l’initialise pas, elle ?

    Très bonne question ! Eh bien parce que i va être initialisée dans l’instruction qui met en place la boucle « Pour » : « Pour i variant de 1 à ... ».

  4. Traitement
    Passons maintenant à la phase de traitement.

    L’idée, c’est de calculer un par un les termes de la suite u_n du rang 1 au rang n en écrasant à chaque fois la valeur de la variable u. Les instructions à dérouler pour faire cela sont identiques à chaque rang, c’est pourquoi une boucle « Pour » est mise en place : elle permet de dérouler plusieurs fois le même ensemble d’instructions tout en mettant en place un « compteur », i, qui est automatiquement incrémenté à chaque passage dans la boucle afin de s’assurer qu’on ne passe dans la boucle que n fois. Ainsi, on doit compléter l’algorithme de la façon suivante :

    Pour i variant de 1 à n
    J’ai toujours un doute sur les bornes à mettre pour la variable i, moi ! Comment sais-tu que ça doit être n et pas n-1, ou n+1 ?… Bref ! Ca me prend la tête !

    Alors c’est une question qui mérite effectivement d’être posée. Quand on entre dans la boucle pour la première fois, i vaut 1 et on va affecter à la variable u ce qui va bien pour calculer u_1. Quand on entre dans la boucle la deuxième fois, i vaut 2 et on va calculer u_2. Et ainsi de suite. Donc, quand i vaut n, on va calculer u_n, ce qui est exactement ce que l’on veut : donc on peut s’arrêter à i = n.

    Reste à savoir quelle(s) instruction(s) doit (doivent) figurer dans cette boucle.

    Supposons que la valeur de u_i est stockée dans la variable u (car on a dit que u contenait les valeurs de la suite). A partir du terme u_i, comment est-ce que j’obtiens u_{i+1} ?

    Il suffit d’appliquer la relation de récurrence déduite de la question 2. a), non ?

    Exactement : u_{i+1} = \dfrac{1}{i+1} - u_i.

    Or, qui contient les valeurs de u_i et i dans l’algorithme ?

    Respectivement les variables u et i !

    Donc, u_{i+1} s’écrit de la façon suivante en fonction des variables : u_{i+1} = \dfrac{1}{i+1} - u
    D’où, si u contient la valeur du terme de rang i, pour remplacer sa valeur par le terme de rang suivant, il suffit de lui affecter la valeur correspondant à \dfrac{1}{i+1} - u.

    On peut donc terminer de compléter l’algorithme :

    Affecter à u la valeur \dfrac{1}{i+1} - u
  5. Sortie
    L’instruction inscrite dans le bloc « Sortie » sert simplement à afficher le contenu de la variable u, une fois les traitements effectués. C’est elle qui permet d’afficher u_n.

b) A l’aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :

Bac S 2015 Maths Liban Exercice 2 2015-li-exo2-2

Quelles conjectures concernant le comportement de la suite (u_n) peut-on émettre ?

Conjecturer le comportement d’une suite, c’est faire des hypothèses sur :

  • son sens de variation (croissante, décroissante ou « oscillante ») ;
  • son éventuelle convergence (auquel cas, il faut préciser la limite) ou divergence (vers +\infty ou -\infty).

Ici, on peut dire que :

Au vu du tableau proposé par l’énoncé, la suite (u_n) semble décroissante et converger vers  0 .

Question 4

a) Démontrer que la suite (u_n) est décroissante.

Il s’agit ici de prouver notre conjecture.

Une suite de nombres réels (u_n) est croissante (respectivement décroissante) si et seulement si elle vérifie l’une ou l’autre des propriétés suivantes :

  • u_{n+1} - u_n \geq 0 (respectivement u_{n+1} - u_n \leq 0) ;
  • \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1 (respectivement \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1)
Ah mais s’il y a deux formules possibles, comment puis-je savoir laquelle utiliser ?

C’est une bonne question ! Personnellement, si la suite étudiée est un produit de facteurs ou un quotient, je privilégie la deuxième formule, sinon, j’utilise la première formule.

Ici, nous n’avons à faire ni à un produit de facteurs, ni à un quotient, donc on va utiliser la première formule :

u_{n+1} - u_n = \int_{0}^{1} \dfrac{x^{n+1}}{1+x}\,dx - \int_{0}^{1} \dfrac{x^n}{1+x}\,dx = \int_{0}^{1} \dfrac{x^{n+1} - x^n}{1+x}\,dx = \int_{0}^{1} \dfrac{x^n(x-1)}{1+x}\,dx.

Il nous faut maintenant étudier le signe de l’expression obtenue. Il s’agit donc de déterminer le signe d’une intégrale. Cela doit immédiatement vous faire penser au théorème suivant :

Positivité de l’intégrale
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a;b]. Alors :

  • si pour tout x \in [a;b], f(x) \geq 0 alors  \int_a^b f(x) \, \text{d}x \geq 0.
  • si pour tout x \in [a;b], f(x) \leq 0 alors  \int_a^b f(x) \, \text{d}x \leq 0.

Autrement dit :

Pour étudier le signe d’une intégrale définie sur un intervalle [a ; b], il suffit d’étudier le signe de l’expression qui se situe à l’intérieur sur cet intervalle [a ; b] : le signe de l’intégrale sera alors le même.

Ici, on peut donc écrire :

Pour tout x \in [0 ; 1], x^n \geq 0 et 1 + x \geq 0.
De plus, 0 \leq x \leq 1 \Rightarrow -1 \leq x - 1 \leq 0 donc \dfrac{x^n(x-1)}{1+x} \leq 0.

Reste donc à appliquer le rappel de cours ci-dessus :

On en déduit \int_{0}^{1} \dfrac{x^n(x-1)}{1+x}\,dx \leq 0 d’où u_{n+1} - u_n \leq 0.

D’où :

Donc la suite (u_n) est décroissante.

b) Démontrer que la suite (u_n) est convergente.

L’énoncé nous demande de montrer que la suite (u_n) est convergente. Or, on vient de démontrer qu’elle est décroissante. Dès qu’on vous demande de démontrer qu’une suite monotone (c’est-à-dire croissante ou décroissante) est convergente, vous devez immédiatement penser au théorème suivant :

  • Toute suite croissante et majorée converge.
  • Toute suite décroissante et minorée converge.

Ici, il s’agit donc de démontrer que la suite (u_n) est minorée.

Tu peux rappeler ce que ça veut dire « minorée » ?

Bien sûr !

On dit qu’une suite \left( u_n \right) est minorée s’il existe un réel m tel que pour tout n \in \mathbb{N}, on a  u_n \geq m .
On dit alors que m est un minorant de la suite (u_n).

C’est là où il faut un peu « de flair ». Le réel m qui convient, c’est  0 . Montrons donc que, pour tout n entier naturel, u_n est positif :

Pour tout n entier naturel et pour tout x \in [0 ; 1], x^n \geq 0 et 1 + x \geq 0 donc \dfrac{x^n}{1+x} \geq 0

C’est là où il faut un peu « de flair ». Le réel m qui convient, c’est  0 . Montrons donc que, pour tout n entier naturel, u_n est positif :

Pour tout n entier naturel et pour tout x \in [0 ; 1], x^n \geq 0 et 1 + x \geq 0 donc \dfrac{x^n}{1+x} \geq 0

A nouveau, le rappel de cours sur la positivité de l’intégrale va nous être utile :

Donc \int_{0}^{1} \dfrac{x^n}{1+x}\,dx \geq 0 soit u_n \geq 0.

On peut alors conclure :

La suite (u_n) est donc décroissante et minorée par  0 donc elle converge.

Question 5

On appelle l la limite de la suite (u_n). Démontrer que l = 0.

En Terminale, vous n’avez pas les moyens de déterminer la limite d’une intégrale par « simple calcul de limites ». Il faut donc procéder autrement.

On a conjecturé que la suite (u_n) tendait vers  0 . Il s’agit donc de le prouver et pour ce faire, on va encadrer u_n par deux termes qui tendent vers  0 . Je ne fais là qu’appliquer le fameux « théorème des gendarmes ». Pour rappel, ce théorème est le suivant :

Soient l \in \mathbb{R} et (u_n), (v_n) et (w_n) trois suites réelles telles que :

  • v_n \le u_n \le w_n ;
     
  • \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~v_n = l et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~w_n = l.

Alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~u_n = l.

Toute la difficulté est de savoir par quoi encadrer u_n :

  • on sait déjà d’après la question précédente que 0 \leq u_n donc la suite (v_n) définie par v_n = 0 peut jouer le rôle de la suite (v_n) mentionnée dans le théorème des gendarmes ;
  • pour (w_n), c’est là qu’il faut un peu d’astuce. On sait d’après la question 2. a) que, pour tout n entier naturel, u_{n+1} + u_n = \dfrac{1}{n+1}. Donc, u_n = \dfrac{1}{n+1} - u_{n+1}. On en déduit que u_n \leq \dfrac{1}{n+1} car u_{n+1} \geq 0.

Donc on peut écrire :

On a montré à la question 4. b) que, pour tout n entier naturel, 0 \leq u_n. De plus, on sait d’après la question 2. a) que, pour tout n entier naturel, u_{n+1} + u_n = \dfrac{1}{n+1}. Donc, u_n = \dfrac{1}{n+1} - u_{n+1}. On en déduit que u_n \leq \dfrac{1}{n+1} car u_{n+1} \geq 0.

Donc 0 \leq u_n \leq \dfrac{1}{n+1}. Or, \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n+1} = 0 donc, d’après le théorème des gendarmes, \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0.

Fin de l’épreuve du Bac S 2015 Maths Liban Exercice 2.

Exprimez vous!