Bac S 2015 Maths Liban Exercice 3

Enoncé

On considère la courbe \mathcal{C} d’équation y = e^x, tracée ci-dessous.

Bac S 2015 Maths Liban Exercice 3 2015-li-exo3-1

Pour tout réel m strictement positif, on note \mathcal{D}_{m} la droite d’équation y = mx.

Question 1

Dans cette question, on choisit m = e.
Démontrer que la droite \mathcal{D}_{e}, d’équation y = ex, est tangente à la courbe \mathcal{C} en son point d’abscisse 1.

Lorsque l’on vous demande de déterminer la tangente , vous devez absolument au théorème de cours suivant :

Soit \mathcal{C}_f la courbe représentative d’une fonction f dérivable en a.
La tangente à \mathcal{C}_f au point d’abscisse a a pour équation y = f.

Comme vous pouvez le voir, il faut donc connaître la dérivée de la fonction exponentielle. C’est sans aucun doute la plus facile des dérivées à mémoriser :

Pour tout x \in \mathbb{R}, (e^x).

On peut donc écrire :

On pose f : x \mapsto e^x.
Pour tout x \in \mathbb{R}, f donc l’équation de la tangente à \mathcal{C} au point d’abscisse 1 est :
y = f
y = e^{1}(x-1) + e^1
y = ex - e + e
y = ex
Donc la droite \mathcal{D}_{e}, d’équation y = ex, est bien tangente à la courbe \mathcal{C} en son point d’abscisse 1.

Question 2

Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif m, le nombre de points d’intersection de la courbe \mathcal{C} et de la droite \mathcal{D}_m.

En fait, ce qu’il faut comprendre, c’est que, en partant de m = 0, en augmentant m, on va faire « pivoter » la droite \mathcal{D}_m, les positions « extrêmes » de \mathcal{D}_m étant :

  • \mathcal{D}_0, avec m = 0, qui coïncide avec l’axe des abscisses ;
  • \mathcal{D}_{+\infty}, en faisant tendre m vers l’infini, et qui coïncide avec l’axe des ordonnées.

Bac S 2015 Maths Liban Exercice 3 2015-li-exo3-2

Si vous arrivez à voir qu’en augmentant m, on fait pivoter \mathcal{D}_m, alors vous voyez bien que :

m étant la pente de la droite \mathcal{D}_m, on peut conjecturer que :

  • pour m \in ]0 ; e[, il y a  0 point d’intersection entre \mathcal{C} et \mathcal{D}_m ;
  • pour m = e, il y a  1 point d’intersection entre \mathcal{C} et \mathcal{D}_m (on l’a prouvé à la question précédente) ;
  • pour m \in ]e ; +\infty[, il y a  2 points d’intersection entre \mathcal{C} et \mathcal{D}_m.
Attends, sur ta figure là, 5 est plus grand que e mais je ne vois qu’un seul point d’intersection entre \mathcal{D}_{5} et \mathcal{C} !

C’est vrai ! Mais c’est parce qu’ils vont s’intersecter aussi plus haut !


Question 3

Démontrer cette conjecture.

Bon les gens ! Maintenant ça rigole plus ! On a affaire ici à une question avec prise d’initiative ! Donc il va falloir se débrouiller tout seul.

Tout d’abord, personnellement, moi j’ai un réflexe : j’essaie de résoudre l’équation e^x = mx :

Un point M(x;y) est un point d’intersection des courbes \mathcal{C} et \mathcal{D}_m si et seulement si :
e^x = mx \Leftrightarrow e^x - mx = 0

Bon, le truc, c’est qu’on ne sait pas résoudre cette équation…

Ah bah d’accord ! Super !

…par contre on sait dire combien de solutions elle a ! Et c’est tout ce qui nous intéresse puisqu’on veut juste savoir le nombre de points d’intersection entre \mathcal{C} et \mathcal{D}_m.

Pour cela, il faut introduire la fonction f : x \mapsto e^x - mx, l’étudier, et voir ce qu’on peut en déduire !

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = e^x - mx.

Allons-y doucement, commençons par étudier f. Je vous rappelle les différentes étapes d’une étude de fonction.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer l’ensemble de définition \mathcal{D}_f de f.

Ici, il n’y a pas de valeur interdite. C’est pour ça que j’ai défini la fonction f sur \mathbb{R} lorsque je l’ai introduite.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Calculer f.

Cette dérivée est plutôt simple si on sait que :

Pour tout x \in \mathbb{R}, (e^x).
Pour tout x \in \mathbb{R}, f
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Voir si le signe de f ne dépend pas d’une expression plus simple. Pour cela, il faut prouver que le facteur « qu’on peut enlever » pour obtenir l’expression plus simple est strictement positif sur cet intervalle.

Ici, il n’y a pas de facteur que l’on sait être strictement positif dans l’expression de f.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Calculer les racines de f ou, si on a montré auparavant que le signe de f ne dépendait que du signe d’une fonction u, calculer les racines de u.
Tu peux me rappeler ce que ça veut dire « calculer les racines » d’une fonction stp ?

Pas de problème, je suis là pour répondre à vos questions :

« Calculer les racines d’une fonction f » signifie « Résoudre f(x)=0« .

Ici, comme je vous l’ai indiqué à l’étape précédente, il n’y a pas lieu de s’intéresser à une fonction u plus simple, donc on peut directement écrire :

Pour tout x \in \mathbb{R},
f

\Leftrightarrow e^x = m

Arrivé là, il faut se débarrasser de l’exponentielle. Pour ça, il y un réflexe, un seul :

  • Pour se « débarrasser » de l’exponentielle, il suffit d’appliquer la fonction logarithme népérien.
  • Pour se « débarrasser » du logarithme népérien, il suffit d’appliquer la fonction exponentielle.

Ce réflexe tient au fait que :

  • Pour tout x \in \mathbb{R}, ln~(e^x) = x ;
  • Pour tout x \in \mathbb{R_+^*}, e^{ln~x} = x.

Ici, cela donne :

... \Leftrightarrow x = ln~m

Vous remarquerez que ln~m existe tout à fait parce que m est un réel strictement positif.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Déterminer le signe de f ou, si on a montré auparavant que le signe de f ne dépendait que du signe d’une fonction u, déterminer le signe de u.
Ah il faut faire un tableau de signes ?

Eh non. Un tableau de signes, ça marche bien quand on a un produit ou un quotient de facteurs. Ici, on a affaire à une somme. Du coup, on n’a pas d’autre choix que de résoudre les inéquations f et f.

Commençons par l’inéquation f :

Pour tout x \in \mathbb{R},
f

\Leftrightarrow e^x \leq m

A nouveau, il faut se débarrasser de l’exponentielle. On va donc appliquer le réflexe précédent. Mais attention, on a affaire ici, non plus à une égalité mais à une inégalité. Cela rajoute une « difficulté » supplémentaire :

Dès lors que l’on applique une fonction de part et d’autre d’une inégalité, il faut se demander si l’ordre est conservé ou inversé :

  • si la fonction appliquée est croissante, l’ordre est conservé ;
  • si la fonction appliquée est décroissante, l’ordre est inversé.

Or :

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur son ensemble de définition \mathbb{R}_+^*.

Donc, en l’appliquant à l’inégalité, le sens de cette dernière est conservé :

... \Leftrightarrow ln~(e^x) \leq ln~m car la fonction ln est strictement croissante sur \mathbb{R}_+^*

\Leftrightarrow x \leq ln~m

Exactement de la même façon, on doit résoudre l’inéquation f :

Pour tout x \in \mathbb{R},
f

\Leftrightarrow e^x \geq m

\Leftrightarrow ln~(e^x) \geq ln~m car la fonction ln est strictement croissante sur \mathbb{R}_+^*

\Leftrightarrow x \geq ln~m

Finalement, on a donc :

Donc, pour tout x \in ]-\infty ; ln~m], f et, pour tout x \in [ln~m ; +\infty[, f.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{6}}} Calculer les valeurs de f auxquelles f s’annule.

Ici, on sait que f ne s’annule qu’en ln~m sur \mathbb{R} donc on calcule f(ln~m) :

De plus, f(ln~m) = e^{ln~m} - m ln~m = m - m ln~m = m(1 - ln~m).
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{7}}} Calculer les limites de f

  • aux bornes de son ensemble de définition
  • lorsque x tend vers une valeur interdite

On va donc calculer \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) et \lim\limits_{x \to +\infty} f(x).

Commençons en -\infty. Elle est facile si on sait que :

\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0

Donc on peut écrire :

\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0 et \lim\limits_{x \to -\infty} -mx = +\infty donc, par somme, \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty.

Intéressons-nous maintenant à +\infty.

Facile ! \lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty et \lim\limits_{x \to +\infty} -mx = -\infty donc, par somme, « l’infini moins l’infini », ça fait… ça fait…

…ça fait rien du tout ! Il faut bien vous mettre dans la tête que :

« \infty - \infty » est une forme indéterminée !
Ah oui c’est vrai ! Mon prof me l’a déjà dit… Bon on fait quoi alors ?

Réflexe :

Lorsque l’on calcule des limites en +\infty ou -\infty et que l’on a affaire à une forme indéterminée, il faut factoriser l’expression par le terme « le plus fort ».

Le « terme le plus fort », ça veut dire le terme qui « varie le plus vite » : le terme qui est élevé à la plus haute puissance, e^x par rapport à x, x par rapport à ln~x

Ici, on va donc factoriser par e^x :

Pour tout x \in \mathbb{R}, f(x) = e^x\left(1 - m\dfrac{x}{e^x}\right).

Arrivé là, l’expression \dfrac{x}{e^x} doit faire *tilt* chez vous. Elle doit vous rappeler les croissances comparées :

Pour tout entier naturel n non nul,

  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{ln~x}{x^n} = 0
  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{e^x}{x^n} = +\infty
  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~xe^{-x} = \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~\dfrac{x}{e^{x}} = 0
  • \lim\limits_{\substack{x \to 0 }}~x^nln~x = 0
  • \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~x^ne^x = 0

La troisième limite nous tire d’affaire :

\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}} \dfrac{x}{e^x} = 0 par croissances comparées donc \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}} 1 - m\dfrac{x}{e^x} = 1.

Le reste n’est plus qu’une formalité :

De plus, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}} e^x = +\infty donc, par produit \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}} f(x) = +\infty.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{8}}} Etablir le tableau de variations de f en retenant que :

  • si f est strictement positive sur un intervalle, alors f est strictement croissante ;
  • si f est strictement négative sur un intervalle, alors f est strictement décroissante.
\begin{array}{|l|ccccc|}\hline x & -\infty & & 0 & & +\infty \\\hline f

Je rappelle que le but de tout ce que nous faisons est de connaître le nombre de solutions à l’équation e^x - mx = 0 selon les valeurs de m. Or, la valeur minimum de f est m(1 - ln~m) donc on peut écrire :

On a donc montré que la valeur minimale de f sur \mathbb{R} était m(1 - ln~m). Ainsi :

  • si m(1 - ln~m) ~\textgreater ~0, f ne passe jamais par  0 et l’équation n’admet pas de solution : \mathcal{C} et \mathcal{D}_m n’ont alors pas de point d’intersection ;
  • si m(1 - ln~m) = 0, f passe une fois par  0 l’équation admet une unique solution : \mathcal{C} et \mathcal{D}_m ont alors un unique point d’intersection ;
  • si m(1 - ln~m) ~\textless ~0, f passe deux fois par  0 et l’équation admet deux solutions : \mathcal{C} et \mathcal{D}_m admettent alors deux points d’intersection.

Vous pouvez le voir sur la figure ci-dessous où j’ai repris les valeurs de m déjà évoquées ci-dessus :

Bac S 2015 Maths Liban Exercice 3 2015-li-exo3-3

Bon, je vous avoue un truc : dans le cas où m(1 - ln~m) ~\textless ~0, pour être rigoureux, il faudrait invoquer le théorème des valeurs intermédiaires pour montrer que l’équation f(x) = 0 admet deux solutions… Mais bon, l’exercice est sur 3 points et il y avait déjà deux questions avant… Donc cette question doit être sur un nombre de points ridicule… Pas assez rentable ! Donc on va pas le faire…

Reste à déterminer l’intervalle dans lequel évolue m dans chacune des 3 situations :

m(1 - ln~m) ~\textgreater ~0 \Leftrightarrow 1 - ln~m ~\textgreater ~0 car m ~\textgreater ~0

\Leftrightarrow 1 ~\textgreater ~ln~m

Cette fois-ci, on veut se débarrasser du logarithme népérien. On va donc appliquer l’exponentielle :

... \Leftrightarrow e^1 ~\textgreater ~e^{ln~m} car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}

\Leftrightarrow e ~\textgreater ~m

Exactement de la même façon, on résout m(1-ln~m) ~\textless ~0 :

m(1 - ln~m) ~\textless ~0 \Leftrightarrow 1 - ln~m ~\textless ~0 car m ~\textgreater ~0

\Leftrightarrow 1 ~\textless ~ln~m
 
\Leftrightarrow e^1 ~\textless ~e^{ln~m} car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}
\Leftrightarrow e ~\textless ~m

Il ne reste plus qu’à résoudre m(1-ln~m) = 0 :

m(1 - ln~m) = 0 \Leftrightarrow 1 - ln~m = 0 car m ~\textgreater ~0

\Leftrightarrow 1 = ln~m
 
\Leftrightarrow e^1 = e^{ln~m}
 
\Leftrightarrow e = m

On peut alors conclure :

Donc :

  • si m \in ]0 ; e[, \mathcal{C} et \mathcal{D}_m n’ont pas de point d’intersection ;
  • si m = e, \mathcal{C} et \mathcal{D}_m ont un unique point d’intersection ;
  • si m \in ]e;+\infty[, \mathcal{C} et \mathcal{D}_m admettent deux points d’intersection.

Cela est conforme à la conjecture émise à la question 2.

C’est obligé de dire que c’est conforme à la conjecture de la question 2 ?

Non mais c’est très bien vu ! Ca montre que vous savez ce que vous faites. Parce que si vous n’obtenez pas à la question 3 ce que vous avez conjecturé à la question 2, eh bien soit votre conjecture est fausse, soit votre raisonnement est faux…

Fin de l’épreuve du Bac S 2015 Maths Liban Exercice 3.

Commentaires

  1. franck a écrit:

    merci pour les explications car elles sont bien détaillées

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