Bac S 2015 Maths Liban Exercice 4 Obl

Enoncé

En prévision d’une élection entre deux candidats A et B, un institut de sondage recueille les intentions de vote de futurs électeurs.

Parmi les 1 200 personnes qui ont répondu au sondage, 47 % affirment vouloir voter pour le candidat A et les autres pour le candidat B.

Compte-tenu du profil des candidats, l’institut de sondage estime que 10 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat B, tandis que 20 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat A.

On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et on note :

  • A l’événement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A » ;
  • B l’événement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat B » ;
  • V l’événement « La personne interrogée dit la vérité ».

Question 1

Construire un arbre de probabilités traduisant la situation.

Pour construire un arbre pondéré, il suffit de lire soigneusement l’énoncé et de traduire le texte « petit à petit » :

Parmi les 1 200 personnes qui ont répondu au sondage, 47 % affirment vouloir voter pour le candidat A et les autres pour le candidat B.

En lisant cela, on sait que notre arbre pondéré va tout d’abord contenir deux branches et on peut aussi indiquer les probabilités associées :

Bac S 2015 Maths Liban Exercice 4 Obl 2015-li-exo4-1
Hum… Je vois d’où vient la probabilité 0,47 puisque l’énoncé indique que 47 % affirment vouloir voter pour le candidat A. En revanche, d’où vient la probabilité 0,53 ?

Bonne question. En fait, il faut se souvenir que :

La somme des probabilités des branches qui partent d’un même sommet vaut 1.

Ici, cela donne donc que p(A) + p(B) = 1 d’où p(B) = 1 - p(A) = 1 - 0,47 = 0,53.

Continuons à exploiter l’énoncé pour compléter notre arbre de probabilités :

Compte-tenu du profil des candidats, l’institut de sondage estime que 10 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat B, tandis que 20 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat A.

Cela donne :

Bac S 2015 Maths Liban Exercice 4 Obl 2015-li-exo4-2
…et si on applique la règle que tu as indiquée plus haut (« La somme des probabilités des branches qui partent d’un même sommet vaut 1 »), on peut compléter les deux valeurs de probabilités qui restent !

Exactement :

Bac S 2015 Maths Liban Exercice 4 Obl 2015-li-exo4-3

Cela termine l’arbre pondéré demandé.


Question 2

a) Calculer la probabilité que la personne interrogée dise la vérité.

Il s’agit ici de calculer p(V). Pour répondre à cette question, vous devez savoir exploiter l’arbre de probabilité :

Pour calculer la probabilité d’un événement à partir d’un arbre de probabilité, il suffit d’additionner les probabilités de chacun des chemins qui « mène » à cet événement.

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.

Ici, nous allons donc sommer les probabilités de deux chemins :

Bac S 2015 Maths Liban Exercice 4 Obl 2015-li-exo4-4

Donc, on peut écrire :

En exploitant l’arbre de probabilité obtenu à la question 1., la probabilité de l’événement V vaut :
p(V) = \underbrace{0,47 \times 0,9}_{\text{chemin 1}} + \underbrace{0,53 \times 0,8}_{\text{chemin 2}} = 0,847.

b) Sachant que la personne interrogée dit la vérité, calculer la probabilité qu’elle affirme vouloir voter pour le candidat A.

Clairement, l’énoncé souhaite ici que l’on calcule la probabilité conditionnelle p_V(A). Pour calculer une probabilité conditionnelle ou la probabilité d’une intersection, un seul réflexe :

p_A(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}
La probabilité qu’elle affirme vouloir voter pour le candidat A sachant qu’elle dit la vérité vaut :
p_V(A) = \dfrac{p(A \cap V)}{p(V)}

p(A \cap V) est la probabilité d’une intersection. Pour calculer la probabilité d’une intersection, on peut à nouveau exploiter l’arbre de probabilité :

Sur un arbre pondéré, la probabilité de l’intersection de deux événements est obtenue en multipliant les probabilités figurant sur les branches contenant ces deux événements.

Sur notre arbre, les deux branches à considérer sont celles qui sont surlignées en vert ci-dessous :

Bac S 2015 Maths Liban Exercice 4 Obl 2015-li-exo4-5

Donc, on peut poursuivre le calcul de la façon suivante :

... = \dfrac{0,47 \times 0,9}{0,847} = 0,499.

Question 3

Démontrer que la probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est 0,529.

Ah… Voilà une question qui n’est pas classique… Du coup, l’énoncé est gentil avec nous, il nous indique ce qu’il faut obtenir ! :p

Bon, la question qu’il faut se poser c’est « Qui vote effectivement pour le candidat A ? Votent effectivement pour le candidat A :

  • les personnes qui affirment vouloir voter pour le candidat A et qui disent la vérité ;
  • les personnes qui affirment vouloir voter pour le candidat B et qui ne disent pas la vérité.

Il s’agit donc de calculer p((A \cap V) \cup (B \cap \overline{V})).

Ah et comme on sait que p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B), ici, ça donne p((A \cap V) \cup (B \cap \overline{V})) = p(A \cap V) + p(B \cap \overline{V}) - p((A \cap V) \cap (B \cap \overline{V})) !

C’est vrai ! Mais ici, ça se simplifie. En effet, on ne peut pas affirmer vouloir voter pour le candidat A et affirmer vouloir voter pour le candidat B, donc les événements A \cap V sont B \cap \overline{V} sont disjoints. Donc p((A \cap V) \cup (B \cap \overline{V})) = p(A \cap V) + p(B \cap \overline{V}) :

Voter effectivement pour le candidat A correspond à l’événement E = (A \cap V) \cup (B \cap \overline{V}). Or, les événements A \cap V sont B \cap \overline{V} sont disjoints donc :
p(E) = p(A \cap V) + p(B \cap \overline{V})

Hop ! Probabilité d’intersections… réflexe : on exploite l’arbre pondéré :

Bac S 2015 Maths Liban Exercice 4 Obl 2015-li-exo4-6

On peut donc écrire :

... = 0,47 \times 0,9 + 0,53 \times 0,2 = 0,529.

Question 4

L’institut de sondage publie alors les résultats suivants :

Bac S 2015 Maths Liban Exercice 4 Obl 2015-li-exo4-7

Au seuil de confiance de 95 %, le candidat A peut-il croire en sa victoire ?

C’est parti pour cette question de cours classique ! Tout d’abord, apprenez par coeur ceci :

Soient X_n une variable aléatoire qui suit une loi binomiale \mathcal{B}(n,p) et F_n = \dfrac{X_n}{n} la variable aléatoire qui représente la fréquence des succès.

  • Si on cherche à vérifier une probabilité p en considérant un échantillon
    Si

    • n \ge 30
    • np \ge 5
    • n(1 - p) \ge 5

    alors l’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F_n au seuil de 95 % vaut :
    I_n = \left[p-1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}};p+1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right].

  • Si on cherche à évaluer la confiance que l’on peut accorder à une fréquence f constatée sur un échantillon pour l’étendre à la population totale
    Si

    • n \ge 30
    • nf \ge 5
    • n(1 - f) \ge 5

    alors l’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F_n au seuil de 95 % vaut :
    I_n = \left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right].

Et maintenant, voici la démarche pour répondre à cette question. Ici, on cherche à évaluer la confiance que l’on peut accorder à une fréquence constatée dans un échantillon :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Repérer une épreuve de Bernoulli dans la situation proposée et indiquer que l’événement dont X représente la fréquence constitue le « succès ». Introduire alors la variable aléatoire X pour représenter le nombre de succès.

Ici, on s’intéresse à la proportion des électeurs qui voteraient pour le candidat A. Donc l’événement qui représente le succès est l’événement « L’électeur vote pour le candidat A » :

Interroger un électeur est une expérience aléatoire qui ne compte que deux issues possibles : « l’électeur vote pour le candidat A », de fréquence constatée f = 0,529 ou « l’électeur vote pour le candidat B », de fréquence 1 - f = 1 - 0,529 = 0,471. Il s’agit donc d’une épreuve de Bernoulli dont le succès est l’événement « l’électeur vote pour le candidat A ». On pose X la variable aléatoire qui représente le nombre de succès.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Remarquer que cette épreuve de Bernoulli est répétée dans des conditions d’indépendance et en déduire que nous nous trouvons donc dans le cadre d’un schéma de Bernoulli.
Ici, on s’intéresse à un échantillon représentatif de 1200 personnes. Donc cela peut être assimilé à 1200 répétitions de l’épreuve de Bernoulli dans des conditions d’indépendance : il s’agit donc d’un schéma de Bernoulli.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} En déduire que X suit une loi binomiale dont les paramètres sont :

  • n, où n est le nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli ;
  • f, où f est la probabilité de l’événement qui a été désigné comme « succès ».
Donc X suit une loi binômiale de paramètres n = 1200 et p = 0,529.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Vérifier que les conditions requises à l’application de la formule de l’intervalle de fluctuation à 95 % sont remplies, à savoir :
  • n \ge 30
  • nf \ge 5
  • n(1 - f) \ge 5

Aucune difficulté ici, une fois que l’on a déterminé les paramètres de la loi binomiale :

Or :
  • n = 1200 \ge 30
  • nf = 1200 \times 0,529 = 634,8 \ge 5
  • n(1 - f) = 1200 \times (1 - 0,529) = 565,2 \ge 5
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Conclure sur l’intervalle de fluctuation.
Donc l’intervalle de fluctuation de la proportion d’électeurs qui votent pour le candidat A dans un échantillon de taille 1200 vaut I = \left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] = [0,5001 ; 0,5579].

Maintenant que l’on a déterminé l’intervalle de fluctuation, on va pouvoir répondre :

Si, dans l’échantillon prélevé, la probabilité (respectivement la fréquence) des succès appartient à l’intervalle de fluctuation, alors la probabilité (respectivement la fréquence) annoncée pour les succès est considérée comme exacte (respectivement comme étant de confiance). Sinon, elle est considérée comme inexacte (respectivement comme n’étant pas de confiance).

Ici, on doit donc conclure par :

0,529 \in I_n donc le candidat A peut croire en sa victoire.

Question 5

Pour effectuer ce sondage, l’institut a réalisé une enquête téléphonique à raison de 10 communications par demi-heure. La probabilité qu’une personne contactée accepte de répondre à cette enquête est 0,4.
L’institut de sondage souhaite obtenir un échantillon de 1 200 réponses.
Quel temps moyen, exprimé en heures, l’institut doit-il prévoir pour parvenir à cet objectif ?

Question pas classique mais pas trop difficile :

Soit n le nombre de demi-heures nécessaires pour la réalisation de l’enquête.
Si on effectue ces n demi-heures, alors on a interrogé 10n personnes. Parmi ces 10n personnes, 0,4 \times 10n = 4n personnes ont répondu.
Or, on veut que 1200 personnes répondent donc il faut que 4n = 1200 soit n = \dfrac{1200}{4} = 300 demi-heures.
Donc, l’étude nécessite 150 heures.

Fin de l’épreuve du Bac S 2015 Maths Liban Exercice 4 Obl.

Exprimez vous!