Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 1

Enoncé

Partie A

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par

f(x) = \dfrac{3}{1+e^{-2x}}.

Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal (O;\overrightarrow{\mathrm{i}};\overrightarrow{\mathrm{j}}), la courbe
représentative \mathcal{C} de la fonction f et la droite \Delta d’équation y = 3.

Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 1 2015-po-exo1-11

Question 1

Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur \mathbb{R}.

En général, quand on nous demande de faire une étude de fonctions, je vous sors toute la méthode, avec toutes les étapes qui conduisent à l’établissement du tableau de variations. Ici, c’est plus simple : on nous demande de montrer que f est strictement croissante. Il suffit donc de montrer que la dérivée f est strictement positive sur \mathbb{R}.

OK. Ici, f est une fraction, donc je vais utiliser la formule \left(\dfrac{u}{v}\right) !

Pourquoi pas ! Cela marcherait tout à fait en prenant u(x) = 3 et v(x) = 1+e^{-2x}. Personnellement, lorsque le numérateur est une constante k (comme c’est le cas ici), je préfère considérer la fonction comme s’écrivant de la façon suivante :

k \times \dfrac{1}{u}.

Il me suffit alors de dériver \dfrac{1}{u} en utilisant la formule \left(\dfrac{1}{u}\right) puis de multiplier la dérivée obtenue par k. Ici :

  • 3 joue le rôle de k ;
  • 1+e^{-2x} joue le rôle de u.

La seule difficulté réside dans la dérivée de 1+e^{-2x}. Pour s’en sortir, il suffit de se souvenir que :

(e^u)

Ici, c’est la fonction x \mapsto 1 + e^{-2x} qui joue le rôle de u. Donc, pour tout réel x, u d’où :

Pour tout x \in \mathbb{R}, on a :
f

Arrivé là, il est assez facile de déterminer le signe de f. En effet :

  • « exponentielle de n’importe quoi » est toujours strictement positif donc le numérateur est clairement strictement positif ;
  • le dénominateur, lui, est strictement positif en tant que carré d’un nombre strictement positif.

On en déduit :

... ~\textgreater ~0

Maintenant que l’on a déterminé le signe de f, on peut faire le lien avec les variations de f sur \mathbb{R} :

Donc la fonction f est strictement croissante sur \mathbb{R}.

Question 2

Justifier que la droite \Delta est asymptote à la courbe \mathcal{C}.

Petit rappel de cours :

  • Asymptote verticale
    La courbe \mathcal{C}_f représentative de la fonction f admet pour asymptote verticale la droite d’équation x = a si et seulement si \lim\limits_{\substack{x \to a}}~f(x) = +\infty ou \lim\limits_{\substack{x \to a}}~f(x) = -\infty. Dans la figure ci-dessous, \lim\limits_{\substack{x \to a}}~f(x) = +\infty :
    Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 1 2013-p-exo1-2
  • Asymptote horizontale
    La courbe \mathcal{C}_f représentative de la fonction f admet pour asymptote horizontale la droite d’équation y = b en +\infty (respectivement en -\infty) si et seulement si \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f(x) = b (respectivement \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~f(x) = b). Dans la figure ci-dessous, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f(x) = b :
    Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 1 2013-p-exo1-1
  • Asymptote oblique
    La courbe \mathcal{C}_f représentative de la fonction f admet pour asymptote oblique la droite d’équation y = ax + b en +\infty (respectivement en -\infty) si et seulement si \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~[f(x) - (ax + b)] = 0 (respectivement \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~[f(x) - (ax + b)] = 0). Dans la figure ci-dessous, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~[f(x) - (ax + b)] = 0 :
    Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 1 2013-p-exo1-3

Ici, on voit que la droite \Delta d’équation y = 3 est asymptote horizontale à la courbe \mathcal{C} représentative de la fonction f en +\infty. Le réel 3 joue le rôle de b dans le rappel de cours : il s’agit alors de montrer que \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f(x) = 3 :

\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~-2x = -\infty donc, en posant X = -2x, on a \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~e^{-2x} = \lim\limits_{\substack{X \to -\infty}}~e^{X}

Or :

\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~e^{x} = 0

Donc on peut écrire :

... = 0. Donc \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~1+e^{-2x} = 1 d’où, par quotient, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f(x) = 3.

D’où la conclusion :

Donc la droite \Delta d’équation y = 3 est asymptote à la courbe \mathcal{C} représentative de la fonction f en +\infty.

Question 3

Démontrer que l’équation f(x) = 2,999 admet une unique solution \alpha sur \mathbb{R}.
Déterminer un encadrement de \alpha d’amplitude 10^{-2}.

Le mot « unique » doit immédiatement vous faire penser au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Oh non ! je n’ai jamais rien compris à ce théorème !

On va y aller doucement. Tout d’abord, voici ce que dit ce corollaire :

Si f est une fonction continue et strictement croissante (respectivement décroissante) sur [a;b], alors :

  • l’image de [a;b] par f est [f(a);f(b)] (respectivement [f(b);f(a)]) ;
  • pour tout réel k \in [f(a);f(b)] (respectivement k \in [f(b);f(a)], il existe un unique réel c \in [a;b] tel que f(c) = k.

Remarques :

  • le corollaire est valable quel que soit le type de l’intervalle [a;b] : il peut donc être fermé, ouvert, ou semi-ouvert ;
  • a et b peuvent être remplacés par +\infty ou -\infty ;
  • f(a) et f(b) sont à remplacer respectivement par les limites de f en a et en b si f n’est pas définie en a ou en b.

Ainsi, la rédaction de la réponse à une telle question est toujours la même. Pour des raisons de simplicité, je prendrai toujours l’intervalle [a;b] fermé dans l’explication de la démarche.

Pré-requis : connaître les variations de la fonction f.

Ca tombe bien ! On les a déterminées à la question 1 : f est strictement croissante sur \mathbb{R}.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Repérer la monotonie de f sur l’intervalle [a;b] ainsi que les valeurs de f aux bornes de cet intervalle. En remarquant que f est continue, cela vous permet d’indiquer que l’image de [a;b] par f est :

  • [f(a);f(b)] si f est strictement croissante sur [a;b] ;
  • [f(b);f(a)] si f est strictement décroissante sur [a;b].

Remarque : f(a) et f(b) sont à remplacer respectivement par les limites de f en a et en b si f n’est pas définie en a ou en b.

Ici, c’est \mathbb{R} = ]-\infty ; +\infty [ qui joue le rôle de [a;b].

  • Monotonie de f
    D’après la question 1, on sait que f est strictement croissante sur \mathbb{R} :

    f est continue sur ]-\infty ; +\infty[. De plus, d’après la question 1, on sait que f est strictement croissante sur ]-\infty ; +\infty[.
    Comment sais-tu que f est continue sur ]-\infty ; +\infty[ ?

    C’est là que le programme est très vague. En effet, voici ce qu’il exige très exactement sur la continuité :

    On se limite à une approche intuitive de la continuité et on admet que les fonctions usuelles sont continues par intervalle.

    Traduction de ce qu’il y a marqué en gras : à moins que l’on ne vous indique explicitement le contraire, considérez que toutes les fonctions que l’on vous fait étudier sont continues !

  • Valeurs de f aux bornes de [a;b]
    On sait d’après la question précédente que :

    De plus, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f(x) = 3.

    Il nous reste à déterminer \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~f(x) :

    Or, en posant X = -2x, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~-2x = +\infty. Donc, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~e^{-2x} = \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~e^{X} = +\infty d’où \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~1+e^{-2x} = +\infty. Donc \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~f(x) = 0.

On en déduit :

donc f(]-\infty ; +\infty[) = ]0 ; 3[.

Vous remarquerez que l’image de [a;b] par f se note f([a;b]).

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Faire remarquer que k appartient à l’image de [a;b] par f.

Ici, on cherche à montrer que f(x) = 2,999 pour une unique valeur \alpha donc c’est 2,999 qui joue le rôle de k et ]0 ; 3[ qui joue le rôle de l’image de ]-\infty ; +\infty[ par f :

Or, 2,999 \in ]0 ; 3[
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure en invoquant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
donc il existe un unique réel \alpha \in \mathbb{R} = ]-\infty ; +\infty[ tel que f(\alpha) = 2,999.

Bon, reste à trouver un encadrement à 10^{-2} près de \alpha. Pour cela, il va falloir utiliser la fonction TABLE de votre calculatrice.

Je ne sais jamais à quelle valeur faire commencer la table, ni quel pas prendre !

OK je vais vous montrer comment je fais sur une TI-89 (je choisis la TI-89 parce que c’est la calculatrice que j’avais quand j’étais moi-même en Terminale S et que je la recommande vivement !).

Commandes à effectuer Résultat obtenu
1. Allumer la calculatrice. 😀
L’écran par défaut que vous devez obtenir est l’écran ci-contre. Si ce n’est pas le cas, appuyer sur la touche « HOME ».
Bac S 2013 Maths Asie Exercice 2 2013-as-exo2-2
2. Cliquer sur la touche « Diamant » (autre nom du « losange vert ») et sur « Y= ».
L’écran de saisie des fonctions apparaît.
Bac S 2013 Maths Asie Exercice 2 2013-as-exo2-3
3. Saisir f et cliquer sur « ENTER ». Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 1 2015-po-exo1-2
4. Cliquer sur la touche « Diamant » (autre nom du « losange vert ») et sur « GRAPH ».
La courbe représentative de f apparaît.
Afficher la courbe permet de voir à partir d’où faire commencer la table de valeurs. Ici, la courbe semble atteindre 3 pour x compris entre 1 et 2 donc on peut faire commencer la table de valeurs à 1.
Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 1 2015-po-exo1-3
5. Cliquer sur la touche « Diamant » et sur « TblSet ».
L’écran de configuration de la table des valeurs apparaît.
Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 1 2015-po-exo1-4
6. « tblStart » correspond à la valeur de x à laquelle la table commence et \Delta tbl correspond au pas. Ici, on fait commencer la table à 1.

Quant au pas, puisqu’on ne sait pas encore exactement où se trouve la valeur cherchée, on va laisser le pas à 1.

Une fois les deux valeurs saisies, cliquer sur « ENTER » pour revenir à l’écran de saisie des fonctions. Puis cliquer sur la touche « Diamant » et sur « TABLE ». La table apparaît.

Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 1 2015-po-exo1-10
7. Et là, surprise ! Je vous avoue que ça m’a vraiment interloqué (…pour de vrai ! si, si, je vous jure !). Que voit-on ? Eh bien que f n’atteint la valeur 2,999 pour une valeur comprise entre 4 et 5 !

Faisons donc commencer la table à 4 et cette fois-ci, ajustons le pas.

L’énoncé demande de « déterminer un encadrement de \alpha d’amplitude 10^{-2}« . Par conséquent, il faut faire défiler les valeurs centième par centième : il faut donc mettre un pas de 0,01.

Une fois les deux valeurs saisies, cliquer sur « ENTER » pour revenir à l’écran de saisie des fonctions. Puis cliquer sur la touche « Diamant » et sur « TABLE ». La table apparaît.

Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 1 2015-po-exo1-5Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 1 2015-po-exo1-6Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 1 2015-po-exo1-7
8. On remarque alors que pour x = 4, y1 (c’est-à-dire f(x)) est strictement inférieur à 2,999 et que pour x = 4,01, y1 est strictement supérieur à 2,999. Cela signifie que \alpha est compris entre 4,00 et 4,01. Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 1 2015-po-exo1-8Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 1 2015-po-exo1-9

On peut donc conclure pour \alpha :

D’après la calculatrice,
\begin{cases}f(4) \simeq 2,99899~ \textless ~0\\f(4,01) \simeq 2,99901~ \textgreater ~0\end{cases}
donc un encadrement d’amplitude 10^{-2} de \alpha est 4,00 ~ \textless ~\alpha~ \textless ~4,01.

Partie B

Soit h la fonction définie sur \mathbb{R} par h(x) = 3 - f(x).

Question 1

Justifier que la fonction h est positive sur \mathbb{R}.

La première chose à faire, et à laquelle vous devez penser, est d’expliciter h :

Pour tout x \in \mathbb{R}, on a :
h(x) = 3 - f(x) = 3 - \dfrac{3}{1+e^{-2x}} = 3\left(1 - \dfrac{1}{1+e^{-2x}}\right) = 3 \times \dfrac{(1 + e^{-2x}) - 1}{1+e^{-2x}} = \dfrac{3e^{-2x}}{1+e^{-2x}}

Le signe de h est facile à déterminer si on sait que :

Pour tout x \in \mathbb{R}, e^x ~\textgreater ~0.

Autrement dit :

« Exponentielle de n’importe quoi est strictement positif. »

Donc on peut écrire que :

Or, pour tout x \in \mathbb{R}, e^{-2x} ~\textgreater ~0 donc h(x) ~\textgreater ~0. Donc la fonction h est positive sur \mathbb{R}.

Question 2

On désigne par H la fonction définie sur \mathbb{R} par H(x) = -\dfrac{3}{2}ln(1+e^{-2x}).
Démontrer que H est une primitive de h sur \mathbb{R}.

Là, réflexe :

Pour montrer que F est une primitive de f, il suffit de montrer que F.

Pour dériver H, il faut savoir que :

(ln~u)

Ici, c’est la fonction x \mapsto 1+e^{-2x} qui joue le rôle de u donc on peut donc écrire que :

Pour tout x \in \mathbb{R}, on a :
H
Donc, H est une primitive de h sur \mathbb{R}.

Question 3

Soit a un réel strictement positif.

a. Donner une interprétation graphique de l’intégrale \int_{0}^{a} h(x)\,dx.

OK, quand vous voyez « interprétation graphique d’une intégrale », vous devez immédiatement penser au théorème suivant :

L’intégrale de a à b d’une fonction f, c’est l’aire algébrique située « sous la courbe » représentative de la fonction f entre les droites d’équation x = a et x = b. Par « algébrique », on entend que cette aire est :

  • positive lorsque f est positive ;
  • négative lorsque f est négative.

Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 4 2013-an-exo4-3
Ainsi, dans la figure ci-dessus, \int_{a}^{b} f(x)\,dx est la somme algébrique des aires jaune et bleu.

En particulier, on a :

Si la fonction f est positive entre les droites d’équation x = a et x = b, l’intégrale de a à b d’une fonction f, c’est l’aire « tout court » située « sous la courbe » représentative de la fonction f entre les droites d’équation x = a et x = b.

En gardant cela à l’esprit, explicitons \int_{0}^{a} h(x)\,dx :

\int_{0}^{a} h(x)\,dx = \int_{0}^{a} (3 - f(x))\,dx = \int_{0}^{a} 3\,dx - \int_{0}^{a} f(x)\,dx

Or, les fonctions x \mapsto 3 et f sont toutes les deux positives sur [0;a] donc on peut écrire que :

  • \int_{0}^{a} 3\,dx est l’aire sous la droite d’équation y=3 entre les droites d’équation x=0 et x=a (aire du rectangle rouge) ;
  • \int_{0}^{a} f(x)\,dx est l’aire sous la courbe \mathcal{C} représentative de la fonction f entre les droites d’équation x=0 et x=a (aire orange).

Schématiquement, ça donne ça :

Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 1 2015-po-exo1-13

Or, on soustrait ces deux aires donc l’aire résultante est l’aire verte située entre la droite \Delta et la courbe \mathcal{C}, le tout entre les droites d’équations x=0 et x=a :

Donc \int_{0}^{a} h(x)\,dx est l’aire située entre la courbe \mathcal{C}, la droite \Delta et les droites d’équations x=0 et x=a.

b. Démontrer que \int_{0}^{a} h(x)\,dx = \dfrac{3}{2}ln \left(\dfrac{2}{1+e^{-2a}}\right).

Simple question de calcul. En effet, je rappelle que :

Soit f une fonction continue sur l’intervalle [a;b] et F une primitive de f.
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Ici, cela donne :

\int_{0}^{a} h(x)\,dx = H(a) - H(0) = -\dfrac{3}{2}ln(1+e^{-2a}) + \dfrac{3}{2}ln(1+e^{0})

Or :

e^0 = 1

donc on peut poursuivre de la façon suivante :

... = -\dfrac{3}{2}ln(1+e^{-2a}) + \dfrac{3}{2}ln(2) = \dfrac{3}{2}(ln~2 - ln(1+e^{-2a}))

C’est une propriété sur la fonction logarithme népérien qui va nous permettre de conclure :

ln~a - ln~b = ln ~\dfrac{a}{b}

On en déduit :

... = \dfrac{3}{2}ln \left(\dfrac{2}{1+e^{-2a}}\right).

c. On note \mathcal{D} l’ensemble des points M(x ; y) du plan défini par
\begin{cases}x \geq 0 \\f(x) \leq y \leq 3\end{cases}.
Déterminer l’aire, en unité d’aire, du domaine \mathcal{D}.

L’aire que l’on cherche à déterminer correspond à l’aire verte de la figure ci-dessous :

Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 1 2015-po-exo1-12

Alors, il y a quelque chose qui ne se voit pas sur la figure car les courbes \mathcal{C} et \Delta se rapprochent de plus en plus, mais que vous devez garder à l’esprit : l’aire verte, qui correspond à l’espace « coincé » entre ces deux courbes, va à l’infini.

Ah bon ?? Mais comment je peux calculer quelquechose qui va à l’infini, moi ?!

Toute l’astuce consiste à introduire un réel a :

Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 1 2015-po-exo1-14

L’aire verte, là, on sait parfaitement la calculer : elle vaut \int_{0}^{a} h(x) \,dx, soit \dfrac{3}{2}ln \left(\dfrac{2}{1+e^{-2a}}\right) d’après la question précédente. Calculer l’aire verte « entière », c’est faire tendre a vers l’infini !

L’aire du plan cherchée vaut :
\lim\limits_{\substack{a \to +\infty}}~\int_{0}^{a} h(x) \,dx = \lim\limits_{\substack{a \to +\infty}}~\dfrac{3}{2}ln \left(\dfrac{2}{1+e^{-2a}}\right)

Il ne reste plus qu’à conclure :

\lim\limits_{\substack{a \to +\infty}}~-2a = -\infty donc, en posant X = -2a, on obtient \lim\limits_{\substack{a \to +\infty}}~e^{-2a} = \lim\limits_{\substack{X \to -\infty}}~e^{X} = 0 d’où \lim\limits_{\substack{a \to +\infty}}~\dfrac{3}{2}ln \left(\dfrac{2}{1+e^{-2a}}\right) = \dfrac{3}{2}ln~2.
Donc l’aire cherchée vaut \dfrac{3}{2}ln~2.

Fin de l’épreuve du Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 1.

Exprimez vous!