Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 2

Enoncé

Partie A

Soit (u_n) la suite définie par son premier terme u_0 et, pour tout entier naturel n, par
la relation

u_{n+1} = a u_n + b (a et b réels non nuls tels que a \neq 1)

On pose, pour tout entier naturel n, v_n = u_n - \dfrac{b}{1-a}.

Question 1

Démontrer que, la suite (v_n) est géométrique de raison a.

Lorsque l’on demande de prouver qu’une suite est géométrique, il faut tout de suite avoir le réflexe suivant :

Pour montrer que (v_n) est une suite géométrique, il suffit de montrer que v_{n+1} = qv_n, où q est une constante qui ne dépend pas de n.

Exprimons donc v_{n+1} :

Pour tout n entier naturel, on a :
v_{n+1} = u_{n+1} - \dfrac{b}{1-a} = a u_n + b - \dfrac{b}{1-a}

Alors, je rappelle que le but, c’est de montrer que v_{n+1} = av_n donc, toute l’idée va être de factoriser par a et de montrer que le facteur qui apparaît vaut v_n :

... = a \left(u_n + \dfrac{b}{a} - \dfrac{b}{a(1-a)}\right) = a \left(u_n + \dfrac{b(1-a) - b}{a(1-a)}\right) = a \left(u_n + \dfrac{b - ab - b}{a(1-a)}\right) = a \left(u_n + \dfrac{-ab}{a(1-a)}\right) = a \underbrace{\left(u_n - \dfrac{b}{1-a}\right)}_{v_n} = av_n

On peut donc conclure :

Donc la suite (v_n) est géométrique de raison a.

Question 2

En déduire que si a appartient à l’intervalle ]-1 ; 1[, alors la suite (u_n) a pour limite \dfrac{b}{1-a}.

Ceci est une simple question de cours. Elle sert simplement à vérifier que vous connaissez la propriété suivante :

Soit q \in \mathbb{R}.
\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~q^n =\begin{cases}+\infty ~\text{si q ~\textgreater ~1} \\1 ~\text{si q = 1} \\0 ~\text{si -1 \textless ~q \textless ~1}\end{cases}
Euh… Je vois pas la rapport avec la question…

Ah ! Si vous ne voyez pas le rapport avec la question, c’est que vous n’avez pas ceci en tête : une fois que l’on a prouvé que (v_n) est une suite géométrique de raison a, il est aisé d’exprimer v_n en fonction de n :

Soit k un entier naturel.

  • Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r.
    Pour tout n entier naturel, u_n = u_k + (n-k)r.
  • Soit (v_n) une suite géométrique de raison q.
    Pour tout n entier naturel, v_n = v_k q^{n-k}.
On prend combien pour k ?

En général, on prend pour k le premier rang de la suite. En ce qui concerne (v_n) est une suite définie pour tout n entier naturel donc le premier rang est  0 . Donc on peut écrire :

D’après la question précédente, (v_n) est une suite géométrique de raison a donc, pour tout n \in \mathbb{N}, v_n = v_0 a^n.

Vous le voyez, maintenant, le rapport avec le rappel de cours sur la limite de q^n ?

Ah oui ! Comme a appartient à l’intervalle ]-1 ; 1[, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~a^n = 0 donc on peut conclure sur la limite de (v_n) !

Je ne l’aurais pas mieux dit !

Donc, si a appartient à l’intervalle ]-1 ; 1[, alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~a^n = 0 d’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~v_n = 0

Il ne reste plus qu’à faire le lien avec la suite (u_n) :

Or, pour tout n entier naturel, v_n = u_n - \dfrac{b}{1-a} donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~\left(u_n - \dfrac{b}{1-a}\right) = 0 d’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~u_n = \dfrac{b}{1-a}.

Partie B

En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants.
Dès qu’il rentre chez lui, Max taille sa plante.

Question 1

Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?

Pour répondre à cette question, il suffit de lire attentivement l’énoncé :

  • En rentrant chez lui, Max taille sa plante et lui enlève un quart de sa hauteur : elle ne fait donc plus que trois quarts de sa hauteur soit 0,75 \times 80 = 60 cm ;
  • un an plus tard, avant qu’il ne la taille à nouveau, elle aura gagné 30 cm et aura donc une taille de 60 + 30 = 90 cm en mars 2016.

Question 2

Pour tout entier naturel n, on note h_n la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l’année (2015+n).

a. Justifier que, pour tout entier naturel n, h_{n+1} = 0,75h_n + 30.

Pas de panique ! Il s’agit exactement de la même question que la précédente sauf qu’au lieu de faire 80 cm au départ, elle fait h_n cm. Donc on peut appliquer exactement le même raisonnement :

  • Quand Max taille sa plante en mars de l’année (2015+n), il lui enlève un quart de sa hauteur : elle ne fait donc plus que trois quarts de sa hauteur soit 0,75h_n cm ;
  • un an plus tard, avant qu’il ne la taille à nouveau, elle aura gagné 30 cm et aura donc une taille de 0,75h_n + 30 cm en mars de l’année (2015+n+1) soit h_{n+1} = 0,75h_n + 30.

b. Conjecturer à l’aide de la calculatrice le sens de variations de la suite (h_n).
Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).

Indiquer le sens de variations d’une suite, c’est dire s’il est croissante, décroissante ou « oscillante ».

Affichons la suite h_n sur la calculatrice pour voir comment elle évolue. Je vais vous montrer comment je fais sur une TI-89 (je choisis la TI-89 parce que c’est la calculatrice que j’avais quand j’étais moi-même en Terminale S et que je la recommande vivement !).

Commandes à effectuer Résultat obtenu
1. Allumer la calculatrice. 😀
L’écran par défaut que vous devez obtenir est l’écran ci-contre. Si ce n’est pas le cas, appuyer sur la touche « HOME ».
Bac S 2013 Maths Asie Exercice 2 2013-as-exo2-2
2. Cliquer sur la touche « MODE » : l’écran de paramétrage apparaît.
Choisir la valeur « SEQUENCE » pour la champ « Graph » : au lieu d’afficher des fonctions, la calculatrice affichera alors des suites.
Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 1 2015-po-exo2-1
3. Cliquer sur la touche « Diamant » (autre nom du « losange vert ») et sur « Y= ».
L’écran de saisie des suites apparaît.
Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 2 2015-po-exo2-2
3. Dans le champ « u1= », saisir l’expression de h_n.
Attention : sur la calculatrice, « u1 » correspond au terme de rang n (« u1(n) »). Donc c’est h_{n-1} qu’il faut saisir. Ici, cela donne « u1=0.75*u1(n-1)+30 ».
Le champ « ui1= » correspond lui au premier terme de la suite. Ici, h_0 = 80 donc il faut rentrer la valeur 80 pour la champ « ui1 ».
Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 2 2015-po-exo2-3
4. Nous allons maintenant configurer la fenêtre d’affichage de la suite. Cliquer sur la touche « Diamant » et sur « WINDOW ». Voici pour chacun des champs la valeur à rentrer et leur description :

  • nmin=0 : il s’agit du rang du premier terme de la suite. Ici, le premier terme de la suite (h_n) a pour rang  0 ;
  • nmax=10 : il s’agit du rang du dernier terme de la suite. Ici, je choisis de considérer (h_n) jusqu’à son terme de rang 10 ;
  • plotStrt=1 : cela signifie que l’on représente la suite à partir de son premier terme h_0 ;
  • plotStep=1 : il s’agit du pas de la suite représentée. Ici on représente la suite par pas de 1 ;
  • xmin=0 : il s’agit de la valeur minimale de l’axe des abscisses. Ici, je choisis 0 ;
  • xmax=10 : il s’agit de la valeur maximale de l’axe des abscisses. Ici, je choisis 10 ;
  • xscl=0 : il s’agit de la graduation de l’axe des abscisses. Ici, je choisis de graduer l’axe 1 par 1 ;
  • ymin=80 : il s’agit de la valeur minimale de l’axe des ordonnées. La suite commençant à 80, je choisis une valeur minimale de 80 ;
  • ymax=120 : il s’agit de la valeur maximale de l’axe des ordonnées. Ici, je choisis 120 ;
  • yscl=10 : il s’agit de la graduation de l’axe des ordonnées. Ici, je choisis de graduer l’axe 10 par 10.
Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 2 2015-po-exo2-4
5. Cliquer sur la touche « Diamant » et sur « GRAPH ».
La suite s’affiche.
Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 2 2015-po-exo2-6

La conjecture est claire :

D’après la calculatrice, la suite (h_n) est croissante.

Maintenant, prouvons notre conjecture par récurrence (comme le suggère l’énoncé).

Une suite de nombres réels (u_n) est croissante (respectivement décroissante) si et seulement si elle vérifie l’une ou l’autre des propriétés suivantes :

  • u_{n+1} - u_n \geq 0 (respectivement u_{n+1} - u_n \leq 0) ;
  • si la suite (u_n) ne s’annule jamais, \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1 (respectivement \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1)
Ah mais s’il y a deux formules possibles, comment puis-je savoir laquelle utiliser ?

C’est une bonne question ! Personnellement, si la suite étudiée est un produit de facteurs ou un quotient, je privilégie la deuxième formule, sinon, j’utilise la première formule.

Ici, nous n’avons à faire ni à un produit de facteurs, ni à un quotient, donc on va utiliser la première formule : il s’agit donc de montrer que, pour tout n entier naturel, h_{n+1} - h_n \geq 0. C’est parti pour la démonstration par récurrence !

Montrons par récurrence que, pour tout n entier naturel, h_{n+1} - h_n \geq 0.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Initialisation
Il s’agit de vérifier que la propriété est vraie au premier rang.

Ici, on nous demande de prouver l’inégalité « pour tout entier naturel n » donc on va commencer par vérifier la propriété sur h_1 - h_0.

Initialisation
h_1 - h_0 = \underbrace{0,75h_0 + 30}_{h_1} - h_0 = 0,75 \times 80 + 30 - 80 = 10 ~\geq ~0 donc la propriété est vérifiée pour n = 0.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Hérédité
Il s’agit de supposer que la propriété est vraie à un rang k (k appartenant au même ensemble que n, ici \mathbb{N}) et de montrer qu’elle est alors vraie au rang k + 1.
Hérédité
Soit k \in \mathbb{N}. Supposons que la propriété soit vraie au rang k, c’est-à-dire que h_{k+1} - h_k \geq 0. Montrons alors qu’elle est vraie au rang k+1, c’est-à-dire que h_{k+2} - h_{k+1} \geq 0.

A chaque fois que l’on veut prouver une hérédité, il faut se demander :

  • soit, comment à partir de l’hypothèse de récurrence qui fait intervenir la propriété au rang k, je peux faire apparaître la propriété au rang k+1 ;
  • soit, à partir des éléments relatifs au rang k+1, comment je peux faire apparaître les éléments relatifs au rang k et me servir alors de l’hypothèse de récurrence.

Ici, nous allons opter pour la deuxième option et partir des éléments relatifs au rang k+1 pour faire apparaître les éléments relatifs au rang k et exploiter l’hypothèse de récurrence.

h_{k+2} - h_{k+1} = \underbrace{(0,75h_{k+1} + 30)}_{h_{k+2}} - \underbrace{(0,75h_k + 30)}_{h_{k+1}} = 0,75h_{k+1} + 30 - 0,75h_{k} - 30 = 0,75(h_{k+1} - h_k)

Il est temps d’utiliser l’hypothèse de récurrence :

Or, d’après l’hypothèse de récurrence, h_{k+1} - h_k \geq 0 donc 0,75(h_{k+1} - h_k) \geq 0 soit h_{k+2} - h_{k+1} \geq 0.

On peut alors conclure :

La propriété est vérifiée au rang k+1.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclusion
Il s’agit de conclure en invoquant le principe de récurrence.
Conclusion
La propriété est vraie pour n = 0. En la supposant vraie au rang n = k, elle est encore vraie au rang n = k+1.
Ainsi, d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, h_{n+1} - h_{n} \geq 0.

Attention, ce n’est pas fini : il faut conclure sur le sens de variations de la suite (h_n) :

Donc la suite (h_n) est croissante.

Faire remarquer que cela correspond à notre conjecture n’est pas obligatoire, mais du plus bel effet (cela prouve que vous faites attention à la cohérence de ce que vous écrivez) :

Cela correspond bien au sens de variation conjecturé.

c. La suite (h_n) est-elle convergente ? Justifier la réponse.

Quand je lis cette question, voici ce qui se passe dans ma tête : « L’énoncé ne précise pas que les deux parties sont indépendantes DONC ce que nous avons démontré dans la partie A doit forcément nous servir à un moment donné. Or nous en sommes à la dernière question et nous n’avons eu à nous servir des résultats de la partie A jusqu’à présent. C’est donc que ces résultats vont nous servir MAINTENANT. ».

Une fois qu’on s’est dit ça, il suffit de remarquer que :

La suite (h_n) est définie par la relation de récurrence h_{n+1} = 0,75h_n + 30 donc elle joue le rôle de la suite (u_n) étudiée dans la partie A avec :

  • a = 0,75 ;
  • b = 30.

On peut alors utiliser le résultat de la dernière question de la partie A pour conclure :

Donc, d’après la question A. 2., la suite (h_n) converge vers \dfrac{b}{1-a} = \dfrac{30}{1-0,75} = 120.

Fin de l’épreuve du Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 2.

Exprimez vous!