Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 3

Enoncé

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A – Étude de la durée de vie d’un appareil électroménager

Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d’un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire X suivant une loi normale \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) de moyenne \mu = 84 et d’écart-type \sigma. De plus, on a P(X \leq 64) = 0,16.
La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de X est donnée ci-dessous.

Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 3 2015-po-exo3-1

Question 1

a. En exploitant le graphique, déterminer P(64 \leq X \leq 104).

Je ne crois pas avoir vu d’interprétation graphique de loi normale dans tous les sujets que j’ai faits jusqu’à ce jour. Elle est donc assez originale.

Ici, ce qu’il faut voir, c’est que P(X = 104) est le « symétrique » de P(X = 64) par rapport à P(X = \mu)\mu = 84 :

Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 3 2015-po-exo3-2

Du coup, l’aire orange est exactement égale à l’aire grise. Autrement dit :

Par symétrie, P(X \geq 104) = P(X \leq 64) = 0,16.
OK, mais c’est pas ce qu’on veut ! Ce qu’on veut, c’est l’aire verte, P(64 \leq X \leq 104) !

J’y viens, j’y viens ! En fait, ce qu’il faut retenir, c’est que :

Si X suit une loi normale, alors P(X \in ]-\infty;+\infty[) = 1.

Traduction : aire grise + aire verte + aire orange = 1. Donc on peut écrire que :

Or, \underbrace{P(X \leq 64)}_{\text{aire grise}} + \underbrace{P(64 \leq X \leq 104)}_{\text{aire verte}} + \underbrace{P(X \geq 104)}_{\text{aire orange}} = 1 donc P(64 \leq X \leq 104) = 1 - P(X \leq 64) -  P(X \geq 104) = 1 - 0,16 - 0,16 = 0,68.

b. Quelle valeur approchée entière de \sigma peut-on proposer ?

Cette question n’est pas si simple qu’elle n’en a l’air. Elle demande de faire le lien avec l’élément de cours suivant :

  • P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \simeq 0,68 à 10^{-2} près ;
  • P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \simeq 0,95 à 10^{-2} près ;
  • P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \simeq 0,997 à 10^{-3} près.
0,680,68… Ah mais c’est ce qu’on vient de trouver à la question précédente !

Exactement :

On vient de montrer que P(64 \leq X \leq 104) = 0,68, soit P(\mu - 20 \leq X \leq \mu + 20) = 0,68.
Or, on sait que, pour une loi normale, P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \simeq 0,68 à 10^{-2} près donc, on peut proposer \sigma = 20.

Question 2

On note Z la variable aléatoire définie par Z = \dfrac{X-84}{\sigma}.

a. Quelle est la loi de probabilité suivie par Z ?

En voilà, une belle question de cours. Tout ce que le concepteur du sujet cherche à savoir ici, c’est si vous connaissez la partie de cours suivante :

Si la variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance m et d’écart-type \sigma notée \mathcal{N}(m, \sigma^2), alors la variable aléatoire Y = \dfrac{X - m}{\sigma} suit une loi normale d’espérance  0 et d’écart-type 1 notée \mathcal{N}(0, 1).

Remarque : la loi normale d’espérance  0 et d’écart-type 1 notée \mathcal{N}(0, 1) s’appelle « loi normale centrée réduite ».

Vous remarquerez que c’est \sigma^2 qui figure dans la notation d’une loi normale d’écart-type \sigma : en fait, la notation indique la moyenne et la variance (qui est égale au carré de l’écart-type).

Ici, cela donne donc :

La variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance \mu = 84 et d’écart-type \sigma donc Z = \dfrac{X-84}{\sigma} suit une loi normale d’espérance  0 et d’écart-type 1 : il s’agit de la « loi normale centrée réduite ».
C’est important de dire que la loi normale suivie par Z est « centrée réduite » ?

Franchement, je ne sais pas si on peut vous enlever des points si vous ne le mentionnez pas. Mais en tout cas, cela montre au correcteur que vous avez en tête un peu de « vocabulaire mathématique », et ça, ça permet de faire bonne impression !

b. Justifier que P(X \leq 64) = P\left(Z \leq \dfrac{-20}{\sigma}\right).

Il s’agit simplement de se demander dans quel intervalle varie Z lorsque X lui se trouve dans l’intervalle ]-\infty;64]. Pour cela, on va procéder par inégalités successives :

X \leq 64 \Leftrightarrow X - 84 \leq 64 - 84 \Leftrightarrow X - 84 \leq -20 \Leftrightarrow \dfrac{X - 84}{\sigma} \leq \dfrac{-20}{\sigma} ~\text{car} ~\sigma ~\text{est positif} \Leftrightarrow Z \leq \dfrac{-20}{\sigma}
Pourquoi as-tu précisé « car \sigma est positif » quand tu as divisé par \sigma ?

Bonne question ! Parce que :

Lorsque l’on divise « membre-à-membre » une inégalité :

  • si le nombre par lequel on divise est positif, l’ordre de l’inégalité est conservé ;
  • si le nombre par lequel on divise est négatif, l’ordre de l’inégalité est inversé.

Ici, \sigma est positif donc on conserve l’ordre.

Bref, on peut alors conclure :

Donc P(X \leq 64) = P(Z \leq \dfrac{-20}{\sigma}).

c. En déduire la valeur de \sigma, arrondie à 10^{-3}.

Essayons de comprendre l’esprit de l’énoncé. L’idée est la suivante. On cherche à déterminer l’écart-type \sigma de la loi normale que suit la variable X. Pour cela, on passe par la variable aléatoire Z qui, elle, suit une loi normale de moyenne \mu = 0 et d’écart-type \sigma = 1.

On vient de montrer que P(X \leq 64) = P(Z \leq \dfrac{-20}{\sigma}) donc :

D’après la question précédente, P(X \leq 64) = P(Z \leq \dfrac{-20}{\sigma}) donc P(Z \leq \dfrac{-20}{\sigma}) = 0,16.

Toute l’idée est de trouver la valeur de t = \dfrac{-20}{\sigma} telle que P(Z \leq t) = 0,16. Et ça, c’est la calculatrice qui va nous déterminer t. Ici, je vais vous montrer comment faire avec une TI-89 (je choisis la TI-89 parce que c’est la calculatrice que j’avais quand j’étais moi-même en Terminale) :

Commandes à effectuer Résultat obtenu
1. Allumer la calculatrice. 😀
Puis cliquer sur la touche « APPS ». Les applications installées sur la calculatrice apparaissent.
Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-9
2. Choisir Stats/List Editor et cliquer sur « ENTER ».

L’application « Stats/List Editor » est normalement incluse dans toutes les calculatrices TI-89 depuis 2004. Si ce n’est pas le cas, vous pouvez la télécharger gratuitement ici.
Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-10
3. A moins d’être un utilisateur « avancé » de la TI-89 (auquel cas vous savez quoi faire à cette étape), cliquer simplement sur « ENTER ». Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-11
4. Cliquer sur F5 > 2 > 1.
L’interface de renseignement des valeurs nécessaires à la détermination de la valeur cherchée apparaît.
Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 3 2015-po-exo3-3
5. Renseigner les valeurs nécessaires.

Ici, on cherche t tel que P(Z \leq t) = 0,16 donc :

  • Area : 0.16 ;

De plus, Z suit une loi normale centrée réduite donc :

  • \mu : 0 ;
  • \sigma : 1 ;
Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 3 2015-po-exo3-4
6. Cliquer sur « ENTER ».
La valeur cherchée est la valeur « Inverse ».
Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 3 2015-po-exo3-5

Avec cette valeur, on peut déduire \sigma :

D’après la calculatrice, P\left(Z \leq \dfrac{-20}{\sigma}\right) = 0,16 pour \dfrac{-20}{\sigma} \simeq -0,994458. On en déduit \sigma = \dfrac{-20}{-0,994458} = 20,111 à 10^{-3} près.

Petite remarque : à la question suivante, l’énoncé commence par prendre 20,1 comme valeur de \sigma. Trouver 20,111 est donc cohérent. Si vous n’aviez pas trouvé une valeur qui approche de 20,1, vous auriez eu à vous poser des questions…


Question 3

Dans cette question, on considère que \sigma = 20,1.
Les probabilités demandées seront arrondies à 10{-3}.

a. Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5 ans.

La durée de vie du lave-vaisselle étant représentée en mois par la variable aléatoire X, il s’agit ici de calculer P(24 \leq X \leq 60) (…et non pas P(2 \leq X \leq 5) !).

Dès que vous avez une question du type « Calculer P(a \leq X \leq b) », vous devez penser au théorème suivant :

  • P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \simeq 0,68 à 10^{-2} près ;
  • P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \simeq 0,95 à 10^{-2} près ;
  • P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \simeq 0,997 à 10^{-3} près.

et vous dire « est-ce que les bornes a et b correspondent respectivement à

  • \mu - \sigma et \mu + \sigma ?
  • ou \mu - 2\sigma et \mu + 2\sigma ?
  • ou \mu - 3\sigma et \mu + 3\sigma ? »

Car, si c’est le cas, il suffit d’appliquer le rappel de cours. Sinon, il faut utiliser la calculatrice !

Ici :

  • \mu - \sigma = 84 - 20,1 = 63,9 et \mu + \sigma = 84 + 20,1 = 104,1 ;
  • \mu - 2\sigma = 84 - 2 \times 20,1 = 43,8 et \mu + 2\sigma = 84 + 2 \times 20,1 = 124,2 ;
  • ou \mu - 3\sigma = 84 - 3 \times 20,1 = 23,7 et \mu + 3\sigma = 84 + 3 \times 20,1 = 144,3.

Or :

  • 24 joue le rôle de a ;
  • 60 joue le rôle de b.

donc nous ne nous situons pas dans le cadre du rappel de cours. Il faut donc utiliser la calculatrice.

Ici, je vais vous montrer comment faire avec une TI-89 (je choisis la TI-89 parce que c’est la calculatrice que j’avais quand j’étais moi-même en Terminale) :

Commandes à effectuer Résultat obtenu
1. Allumer la calculatrice. 😀
Puis cliquer sur la touche « APPS ». Les applications installées sur la calculatrice apparaissent.
Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-9
2. Choisir Stats/List Editor et cliquer sur « ENTER ».

L’application « Stats/List Editor » est normalement incluse dans toutes les calculatrices TI-89 depuis 2004. Si ce n’est pas le cas, vous pouvez la télécharger gratuitement ici.
Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-10
3. A moins d’être un utilisateur « avancé » de la TI-89 (auquel cas vous savez quoi faire à cette étape), cliquer simplement sur « ENTER ». Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-11
4. Cliquer sur F5 > 4.
L’interface de renseignement des valeurs nécessaires au calcul de la probabilité cherchée apparaît.
Bac S Maths Antilles-Guyane Exercice 1 2014-ag-exo1-8
5. Renseigner les valeurs nécessaires.

Ici, on cherche à calculer P(24 \le X \le 60) donc :

  • Lower Value : 24 ;
  • Upper Value : 60.

De plus, il s’agit d’une loi normale d’espérance \mu = 84 et d’écart-type \sigma = 20,1 donc :

  • \mu : 84 ;
  • \sigma : 20,1.
Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 3 2015-po-exo3-6
6. Cliquer sur « ENTER ».
La valeur cherchée est la valeur « Cdf ».
Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 3 2015-po-exo3-7

On peut donc directement noter le résultat sur la copie :

D’après la calculatrice, la probabilité que la durée de vie d’un lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5 ans vaut P(24 \le X \le 60) = 0,115 à 10^{-3} près.

b. Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 10 ans.

Cette fois-ci, il s’agit de calculer P(X ~\textgreater ~120).

A nouveau, on va s’aider de la calculatrice. Mais attention, la calculatrice ne sait pas calculer les probabilités du type P(X \geq a). Elle ne sait calculer que les probabilités du type P(a \le X \le b).

Voici la méthode pour calculer les probabilités de type P(X \leq a) :

Pour calculer une probabilité du type P(X \le a)X suit une loi normale d’espérance \mu et d’écart-type \sigma, il faut systématiquement appliquer la règle suivante :

  • Si a \ge \mu, on utilise P(X \le a) = 0,5 + P(\mu \le X \le a) ;
  • Si a \le \mu, on utilise P(X \le a) = 0,5 - P(a \le X \le \mu).
Eh mais attends, c’est pas P(X \leq 120) qu’on veut mais P(X ~\textgreater ~120) !

Je sais bien ! Mais je rappelle que :

Soit A un évenement quelconque de l’univers \Omega et B l’événement contraire de l’événement A. On a :
p(A) = 1 - p(B).
B est noté \overline{A}.

Autrement dit, on peut écrire :

P(X ~\textgreater ~120) = 1 - P(X \leq 120)

Ici, a = 120 et \mu = 84 donc a \ge \mu d’où on utilise le premier cas :

120 \ge \mu donc P(X \le 120) = 0,5 + P(\mu \le X \le 120).

Comme à la question précédente, on utilise la calculatrice pour déterminer P(\mu \le X \le 120) (je vous laisse faire !) :

D’après la calculatrice, on trouve P(\mu \le X \le 120) = 0,463 donc :
P(X \le 120) = 0,5 + 0,463 = 0,963.

On en déduit :

D’où P(X ~\textgreater ~120) = 1 - P(X \leq 120) = 1 - 0,963 = 0,037.

Partie B – Etude de l’extension de garantie d’El’Ectro

Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années.
L’entreprise El’Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans supplémentaires.
Des études statistiques menées sur les clients qui prennent l’extension de garantie montrent que 11,5 % d’entre eux font jouer l’extension de garantie.

Question 1

On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l’extension de garantie (on peut assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).

a. Quelle est la probabilité qu’exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité utilisée. Arrondir à 10^{-3}.

Quelqu’un de bien entraîné remarque immédiatement certains termes clés :

  • « Des études statistiques menées sur les clients qui prennent l’extension de garantie montrent que 11,5 % d’entre eux font jouer l’extension de garantie » : on dirait bien la probabilité d’un succès…
  • « On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l’extension de garantie (on peut assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients). » : si c’est pas 12 répétitions d’une épreuve de Bernoulli ça, je ne sais pas ce que c’est…
  • « Quelle est la probabilité qu’exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? » : si on appelle X l’événement qui caractérise le succès, ce qu’on nous demande, c’est P(X = 3) : la formule du binôme de Newton va nous être bien utile ici…

Vous l’aurez compris, il s’agit ici :

  • de poser X la variable aléatoire qui représente le nombre de clients qui, parmi ceux qui prennent l’extension de garantie, la font jouer ;
  • de montrer que X une loi binômiale dont on précisera les paramètres ;
  • d’utiliser la formule du binôme de Newton pour calculer P(X = 3).

On va donc y aller étape par étape :

On pose X la variable aléatoire qui représente le nombre de clients qui, parmi ceux qui prennent l’extension de garantie, la font jouer.

Montrons que X suit une loi binômiale dont on va en préciser les paramètres. La démarche à adopter pour montrer qu’une variable aléatoire X suit une loi binomiale est toujours la même :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Repérer une épreuve de Bernoulli dans la situation proposée et indiquer que l’événement dont X représente le nombre d’occurrences constitue le « succès ».
« Considérer un client qui a pris l’extension de garantie » est une expérience aléatoire qui ne compte que deux issues possibles : « le client fait jouer l’extension de garantie », de probabilité p = 0,115 ou « le client ne fait pas jouer l’extension de garantie », de probabilité 1 - p = 1 - 0,115 = 0,885. Il s’agit donc d’une épreuve de Bernoulli dont le succès est l’événement « le client fait jouer l’extension de garantie ».
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Remarquer que cette épreuve de Bernoulli est répétée dans des conditions d’indépendance et en déduire que nous nous trouvons donc dans le cadre d’un schéma de Bernoulli.
Ici, « on choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l’extension de garantie » donc on répète 12 fois l’épreuve de Bernoulli dans des conditions d’indépendance : il s’agit donc d’un schéma de Bernoulli.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure que X suit une loi binomiale dont les paramètres sont :

  • n, où n est le nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli ;
  • p, où p est la probabilité de l’événement qui a été désigné comme « succès ».
Donc X suit une loi binomiale de paramètres n = 12 et p = 0,115.

Ce qui est demandé ici, c’est la probabilité d’obtenir 3 succès. Or :

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p.
La probabilité d’obtenir k succès vaut p(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k(1 - p)^{n-k}.

Donc il suffit de calculer P(X = 3) :

La probabilité qu’exactement trois d’entre eux aient acheté un ordinateur de ce modèle vaut :
p(X = 3) = \dbinom{12}{3} 0,115^3(1 - 0,115)^{12-3} \simeq 0,111.

b. Quelle est la probabilité qu’au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Arrondir à 10^{-3}.

Il s’agit donc de calculer P(X \ge 6).

L’événement « X \ge 6 » correspond à l’événement « X = 6 \cup X = 7 \cup X = 8 \cup X = 9 \cup X = 10 \cup X = 11 \cup X = 12« . Comme les événements X = 1, X = 2, …, X = 12 sont disjoints 2 à 2, on a :
p(X \ge 6) = p(X = 6 \cup X = 7 \cup ... \cup X = 12) = p(X = 6) + p(X = 7) + ... + p(X = 12).

Ohlà ! Est-ce que cela veut dire qu’on va devoir se taper le calcul de p(X = 6), p(X = 7), ..., p(X = 12) ?

Hum… Il y a moyen de faire un tout petit peu plus court (mais pas beaucoup plus) en faisant intervenir l’événement contraire.

p(X \ge 6) = 1 - p(X~ \textless ~6)

L’événement « X~ \textless ~6 » correspond à l’événement « X = 0 \cup X = 1 \cup X = 2 \cup X = 3 \cup X = 4 \cup X = 5« , les événements « X = 0« , « X = 1« , …, « X = 5 » étant disjoints.

... = 1 - 1 - P(X = 0 \cup X = 1 \cup X = 2 \cup X = 3 \cup X = 4 \cup X = 5)
= 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)] car les événements « X = 0« , « X = 1« , …, « X = 5 » sont disjoints

= 1 - [\dbinom{12}{0} 0.115^0(1 - 0.115)^{12} + \dbinom{12}{1} 0.115^1(1 - 0.115)^{11} + \dbinom{12}{2} 0.115^2(1 - 0.115)^{10} + \dbinom{12}{3} 0.115^3(1 - 0.115)^{9} + \dbinom{12}{4} 0.115^4(1 - 0.115)^{8}
+ \dbinom{12}{5} 0.115^5(1 - 0.115)^{7}]

\simeq 0,001 à 10^{-3} près.

On peut alors conclure :

Donc la probabilité qu’au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie vaut 0,001.

Question 2

L’offre d’extension de garantie est la suivante : pour 65 euros supplémentaires, El’Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399 euros, si une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la cinquième année. Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la panne est réparable.
On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l’extension de garantie, et on note Y la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur ce client par l’entreprise El’Ectro, grâce à l’extension de garantie.

a. Justifier que Y prend les valeurs 65 et -334 puis donner la loi de probabilité de Y.

Donner la loi de probabilité d’une variable aléatoire, c’est préciser la probabilité de chacune des valeurs qu’elle peut prendre.

Autrement dit, ici, il s’agit de préciser P(Y = 65) et P(Y = -334).

Mais avant cela, comme demandé, voyons pourquoi Y ne peut prendre que les valeurs 65 et -334 :

Il y a deux possibilités :

  • soit le client a souscrit à l’extension de garantie et il ne la fait pas jouer. Dans ce cas, il a payé 65 euros à El’Ectro qui ne lui doit rien : El’Ectro fait alors un gain de 65 euros et donc Y = 65 ;
  • soit le client a souscrit à l’extension de garantie et il la fait jouer. Dans ce cas, il a payé 65 euros à El’Ectro qui lui rembourse 399 euros : El’Ectro fait alors un « gain » de 65 – 399 = -334 euros et donc Y = -334.

Maintenant, calculons P(Y = 65) et P(Y = -334). En fait, pour déterminer ces probabilités, il suffit de comprendre que :

  • Y = -334 lorsque le client fait jouer l’extension de garantie donc P(Y = -334) = P(\text{"le client fait jouer l d’après l’énoncé ;
  • Y = 65 lorsque le client ne fait pas jouer l’extension de garantie donc P(Y = 65) = P(\text{"le client ne fait pas jouer l.

On peut donc conclure sur la loi de probabilité de Y :

Donc la loi de probabilité de Y est la suivante :

k -334 65
P(Y = k) 0,115 0,885

b. Cette offre d’extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour l’entreprise ? Justifier.

Je suis sûr que vous avez déjà tous entendu cette phrase dans votre vie : « Le loto est un jeu à espérance négative ». Ce que cela veut dire, c’est que vous avez plus de chance de perdre de l’argent que d’en gagner ! Si je vous dis ça, c’est parce que :

Dans des situations qui représentent des gains et des pertes, il suffit de calculer l’espérance de la variable aléatoire pour savoir s’il y a plus de chance de réaliser un gain ou une perte :

  • si l’espérance de la variable aléatoire est positive, alors vous avez plus de chance de réaliser un gain que de réaliser une perte ;
  • si l’espérance de la variable aléatoire est négative, alors vous avez plus de chance de réaliser une perte que de réaliser un gain.

Inutile de vous dire que tous les jeux de hasard que vous proposent les établissements de type « casino » sont spécialement conçus pour être à espérance négative…

Ici, le « joueur », c’est l’entreprise El’Ectro. Or :

L’espérance de la variable aléatoire Y vaut :
E(Y) = 0,115 \times (-334) + 0,885 \times 65 = 19,115 ~\textgreater ~0

El’Ectro a donc plus de chances de réaliser un gain qu’une perte. On peut alors conclure :

Cette offre d’extension de garantie est donc financièrement avantageuse pour l’entreprise.

Encore heureux… Le responsable commercial qui propose une offre de ce type s’en s’être assuré au préalable que l’espérance est positive, à mon avis, il se fait virer direct…

Fin de l’épreuve du Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 3.

Exprimez vous!