Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 4 Obl

Enoncé

Soit un cube ABCDEFGH d’arête 1.
Dans le repère (A;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}}), on considère les points M, N et P de coordonnées respectives M\left(1;1;\dfrac{3}{4}\right), N\left(0;\dfrac{1}{2};1\right), P\left(1 ; 0 ; -\dfrac{5}{4}\right).

Question 1

Placer M, N et P sur la figure donnée en annexe.

Pour cette question, je n’ai rien de particulier à dire si ce n’est que :

  • la longueur CM vaut \dfrac{3}{4} de la longueur CG ;
  • le point N est le milieu du segment [EH] ;
  • la longueur BP vaut \dfrac{5}{4} de la longueur BF.
Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 4 Obl 2015-po-exo4-1

Question 2

Déterminer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{MN}} et \overrightarrow{\mathrm{MP}}.
En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés.

L’énoncé est vraiment sympa avec nous, là ! Il nous guide vachement ! Il aurait très bien pu simplement dire « Montrer que les points M, N et P ne sont pas alignés. » et cela aurait été à nous de penser à calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{MN}} et \overrightarrow{\mathrm{MP}} pour le prouver (comme ici par exemple) ! En effet, il s’agit d’un réflexe que vous devez avoir :

Pour montrer que trois points A, B et C ont alignés, il suffit de montrer que deux des vecteurs pouvant être formés avec ces 3 points sont colinéaires.

Ici, il s’agit de montrer que les points M, N et P ne sont pas alignés, et donc de montrer que les deux vecteurs choisis, ici \overrightarrow{\mathrm{MN}} et \overrightarrow{\mathrm{MP}}, ne sont pas colinéaires.

Calculons donc leurs coordonnées comme demandé. Pour cela, nous allons avoir besoin du rappel de cours suivant :

Soient A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B) deux points de l’espace.
Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour coordonnées \overrightarrow{\mathrm{AB}}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A).

Ici, cela donne donc :

\overrightarrow{\mathrm{MN}}(x_N - x_M ; y_N - y_M ; z_N - z_M)
\overrightarrow{\mathrm{MN}}\left(0 - 1 ; \dfrac{1}{2} - 1 ; 1 - \dfrac{3}{4}\right)
\overrightarrow{\mathrm{MN}}(-1 ; -\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{4})

\overrightarrow{\mathrm{MP}}(x_P - x_M ; y_P - y_M ; z_P - z_M)
\overrightarrow{\mathrm{MP}}\left((1 - 1 ; 0 - 1 ; -\dfrac{5}{4} - \dfrac{3}{4}\right)
\overrightarrow{\mathrm{MP}}(0 ; -1 ; -2)

On peut alors en déduire leur non-colinéarité si on sait que :

Deux vecteurs de l’espace sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

Ici, cela donne :

Les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{MN}} et \overrightarrow{\mathrm{MP}} ne sont pas proportionnelles donc ils ne sont pas colinéaires.

D’où la conclusion :

Donc les vecteurs M, N et P ne sont pas alignés.

Question 3

On considère l’algorithme 1 donné en annexe.

a. Exécuter à la main cet algorithme avec les coordonnées des points M, N et P données ci-dessus.

Allons-y instruction par instruction :

Saisir x_M, y_M, z_M, x_N, y_N, z_N, x_P, y_P, z_P x_M = 1, y_M = 1, z_M = \dfrac{3}{4}
x_N = 0, y_N = \dfrac{1}{2}, z_N = 1
x_P = 1, y_P = 0, z_P = -\dfrac{5}{4}
d prend la valeur x_N - x_M
e prend la valeur y_N - y_M
f prend la valeur z_N - z_M
g prend la valeur x_P - x_M
h prend la valeur y_P - y_M
i prend la valeur z_P - z_M
k prend la valeur d \times g + e \times h + f \times i
d = x_N - x_M = 0 - 1 = -1
e = y_N - y_M = \dfrac{1}{2} - 1 = -\dfrac{1}{2} \\f = z_N - z_M = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4} \\g = x_P - x_M = 1 - 1 = 0 \\h = y_P - y_M = 0 - 1 = -1 \\i = z_P - z_M = -\dfrac{5}{4} - \dfrac{3}{4} = -2
k = d \times g + e \times h + f \times i
= (-1) \times 0 + \left(-\dfrac{1}{2}\right) \times (-1) + \dfrac{1}{4} \times (-2)
= 0
Afficher k k = 0

b. A quoi correspond le résultat affiché par l’algorithme ? Qu’en déduire pour le triangle MNP ?

Ce qu’affiche cet algorithme, c’est k = d \times g + e \times h + f \times i, c’est-à-dire k = \underbrace{(x_N - x_M)}_{x} \underbrace{(x_P - x_M)}_{x.

Autrement dit, il ne fait qu’appliquer la propriété suivante :

Soient \overrightarrow{\mathrm{u}}(x;y;z) et \overrightarrow{\mathrm{v}}(x deux vecteurs de l’espace.
\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{v}} = xx.

La conclusion est alors immédiate :

L’algorithme proposé calcule le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{MN}}.\overrightarrow{\mathrm{MP}}.

D’après le calcul de la question 3. a., ce produit scalaire est nul. Or :

Deux vecteurs de l’espace sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Et comme le résultat trouvé est  0 , on en déduit :

Or, le résultat trouvé est  0 donc les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{MN}} et \overrightarrow{\mathrm{MP}} sont orthogonaux. Ainsi, les droites (MN) et (MP) sont perpendiculaires d’où le triangle (MNP) est rectangle en M.

Question 4

On considère l’algorithme 2 donné en annexe. Le compléter pour qu’il teste et affiche si un triangle MNP est rectangle et isocèle en M.

L’algorithme 2 n’est que la reprise de l’algorithme 1 privé de sa dernière instruction d’affichage de k. Il calcule donc le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{MN}}.\overrightarrow{\mathrm{MP}}. Pour qu’il puisse indiquer si un triangle MNP est rectangle et isocèle en M, il suffit de :

  • tester si le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{MN}}.\overrightarrow{\mathrm{MP}}, c’est-à-dire la valeur contenue dans la variable k, est nulle : si oui, le triangle MNP est alors rectangle en M ;
  • tester si les longueurs MN et MP sont identiques. Si c’est le cas, le triangle sera isocèle en M.

Commençons par recopier l’algorithme fourni par l’énoncé :

Saisir x_M, y_M, z_M, x_N, y_N, z_N, x_P, y_P, z_P
x_M = 1, y_M = 1, z_M = \dfrac{3}{4}
x_N = 0, y_N = \dfrac{1}{2}, z_N = 1
x_P = 1, y_P = 0, z_P = -\dfrac{5}{4}
d prend la valeur x_N - x_M
e prend la valeur y_N - y_M
f prend la valeur z_N - z_M
g prend la valeur x_P - x_M
h prend la valeur y_P - y_M
i prend la valeur z_P - z_M
k prend la valeur d \times g + e \times h + f \times i

Puis calculons les longueurs MN et MP. Disposant des coordonnées des points M, N et P, il suffit de se souvenir de la propriété suivante pour calculer ces longueurs :

Soient A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B) deux points de l’espace.
AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}

Ici, exprimées en fonction des variables de l’algorithme, cela donne :

  • MN = \sqrt{(x_N-x_M)^2 + (y_N-y_M)^2 + (z_N-z_M)^2} = \sqrt{d^2 + e^2 + f^2} ;
  • MP = \sqrt{(x_P-x_M)^2 + (y_P-y_M)^2 + (z_P-z_M)^2} = \sqrt{g^2 + h^2 + i^2}.

On peut donc écrire :

% Calcul des longueurs MN et MP
l prend la valeur \sqrt{d^2 + e^2 + f^2}
m prend la valeur \sqrt{g^2 + h^2 + i^2}

Reste à tester les conditions évoquées ci-dessus et d’afficher la nature du triangle MNP en conséquence :

% Test du caractère isocèle rectangle du triangle MNP
Si (k = 0 et l = m) alors
  Afficher « Le triangle MNP est isocèle rectangle en M ».
Sinon
  Afficher « Le triangle MNP est n’est pas isocèle rectangle en M ».

Question 5

On considère le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}}(5 ; -8 ; 4) normal au plan (MNP).

a. Déterminer une équation cartésienne du plan (MNP).

Donner une équation cartésienne d’un plan \mathcal{P} alors qu’on en connaît :

  • un vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n}}(a;b;c) ;
  • un point A(x_A;y_A;z_A) appartenant à ce plan ;

est un savoir-faire simple que vous devez maîtriser. Ici, c’est le plan (MNP) qui joue le rôle du plan \mathcal{P}. Quant à un point appartenant à ce plan, on a le choix entre M, N et P. Personnellement, je choisis le point M.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Indiquer que puisque le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}}(a;b;c) est normal au plan \mathcal{P}, alors le plan \mathcal{P} admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d.

Cette étape exploite le rappel de cours suivant :

Dans un repère orthonormal :

  • un plan de vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n}}(a;b;c) a une équation de la forme ax + by + cz + d = 0 ;
  • réciproquement, a, b, c et d étant quatre réels donnés avec a, b et c non tous nuls, l’ensemble des points M de coordonnées (x;y;z) tels que ax + by + cz + d = 0 est un plan de vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{u}}(a;b;c).

Ici, on peut donc écrire :

Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}} de coordonnées (5 ; -8 ; 4) est normal au plan (MNP) donc une équation cartésienne de (MNP) est 5x - 8y + 4z + d = 0, où d est un réel à déterminer.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Exprimer le fait que le point A choisi appartient au plan \mathcal{P} pour déterminer d.

Cette fois-ci, on utilise l’élément de cours suivant :

Soit \mathcal{P} un plan de l’espace d’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 et A(x_A;y_A;z_A) un point de l’espace.
A \in \mathcal{P} si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation du plan \mathcal{P}, c’est-à-dire si et seulement si ax_A + by_A + cz_A + d = 0.

Cela donne :

De plus :
M\left(1;1;\dfrac{3}{4}\right) \in (MNP) \Leftrightarrow 5x_M - 8y_M + 4z_M + d = 0

\Leftrightarrow 5 \times 1 - 8 \times 1 + 4 \times \dfrac{3}{4} + d = 0

\Leftrightarrow 5 - 8 + 3 + d = 0

\Leftrightarrow d = 0
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure sur une équation cartésienne du plan \mathcal{P}.
Donc une équation cartésienne du plan (MNP) est 5x - 8y + 4z = 0.
Pourquoi est-ce que tu dis toujours « une équation » du plan et non pas « l’équation » ?

Car il en existe une infinité ! Si je multiplie à gauche et à droite l’équation que nous avons obtenue par un nombre réel quelconque, la nouvelle équation convient toujours ! Par exemple, 5\pi x - 8\pi y + 4\pi z = 0 est aussi une équation du plan (MNP) !

b. On considère la droite \Delta passant par F et de vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{n}}.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite \Delta.

Déterminer une représentation paramétrique d’une droite lorsque l’on connaît les coordonnées :

  • d’un vecteur directeur de cette droite ;
  • d’un point appartenant à cette droite ;

est immédiat si on sait que :

La droite \Delta :
  • est une droite de vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{u}}(a;b;c) ;
  • et passe par le point A(x_A;y_A;z_A) ;
  • si et seulement si elle est caractérisée par la représentation paramétrique \begin{cases}x = at + x_A \\y = bt + y_A, t \in \mathbb{R} \\z = ct + z_A\end{cases}.

Ici :

  • c’est le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}} qui joue le rôle du vecteur \overrightarrow{\mathrm{u}} ;
  • c’est le point F qui joue le rôle du point A.

Indiquons les coordonnées du point F puisqu’elles ne sont pas données par l’énoncé :

Le point F a pour coordonnées (1;0;1).

Cela nous permet de poursuivre :

Donc, puisque la droite \Delta :

  • admet le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}}(5 ; -8 ; 4) comme vecteur directeur ;
  • passe par le point F de coordonnées (1 ; 0 ; 1) ;

alors une représentation paramétrique de \Delta est :
\begin{cases}x = 5t + 1 \\y = -8t~~~~, t \in \mathbb{R} \\z = 4t + 1\end{cases}.


Question 6

Soit K le point d’intersection du plan (MNP) et de la droite \Delta.

a. Démontrer que les coordonnées du point K sont \left(\dfrac{4}{7};\dfrac{24}{35};\dfrac{23}{35}\right).

Il faut bien comprendre une chose. C’est que si le point K est le point d’intersection de la droite \Delta et du plan (MNP), alors ses coordonnées vérifient à la fois :

  • la représentation paramétrique de la droite \Delta ;
  • l’équation cartésienne du plan (MNP) que nous avons trouvée à la question 5. a.

Il faut donc résoudre le système constitué de toutes ces équations :

\begin{cases}x = 5t + 1 \\y = -8t \\z = 4t + 1 \\5x - 8y + 4z = 0\end{cases}

Pour résoudre ce système de 4 équations à 4 inconnues (x, y, z et t), il suffit de remplacer x, y et z par leur expression en fonction de t dans l’équation du plan (MNP) :

... \Rightarrow 5(5t + 1) - 8(-8t) + 4(4t + 1) = 0 \Rightarrow 105t + 9 = 0 \Rightarrow t = -\dfrac{9}{105} = -\dfrac{3}{35}

Et ce n’est pas fini. Maintenant que l’on a déterminé t, il faut le remplacer par sa valeur dans les expressions de x, y et z :

D’où \begin{cases}x = 5t + 1 = 5 \times \left(-\dfrac{3}{35}\right) + 1 = -\dfrac{3}{7} + 1 = \dfrac{4}{7} \\y = -8t = -8 \times \left(-\dfrac{3}{35}\right) = \dfrac{24}{35} \\z = 4t + 1 = 4 \times \left(-\dfrac{3}{35}\right) + 1 = -\dfrac{12}{35} + 1 = \dfrac{23}{35} \\\end{cases}

Il ne reste alors plus qu’à conclure sur K :

D’où le point K a pour coordonnées \left(\dfrac{4}{7};\dfrac{24}{35};\dfrac{23}{35}\right).

b. On donne FK = \sqrt{\dfrac{27}{35}}.
Calculer le volume du tétraèdre MNPF.

Je rappelle la formule de calcul de l’aire d’un tétraèdre :

Le volume d’un tétraèdre est donné par la formule V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times h, où \mathcal{B} est l’aire d’une base du tétraèdre et h la hauteur correspondante.

Il y a une chose que vous devez avoir compris après avoir fait les questions 5 et 6. a. :

La droite \Delta = (FK) a le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}} pour vecteur directeur. Or, le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}} est orthogonal au plan (MNP) donc la droite (FK) est orthogonale au plan (MNP).

Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 4 Obl 2015-po-exo4-2

Du coup :

(FK) est donc une hauteur du tétraèdre FMNP associée à la base MNP.

Donc, dans la formule rappelée ci-dessus :

  • l’aire du triangle MNP joue le rôle de \mathcal{B} ;
  • la longueur FK joue le rôle de d.

On peut donc écrire :

D’où l’aire du tétraèdre MNPF vaut :
\mathcal{A}_{MNPF} = \dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times h = \dfrac{1}{3}\mathcal{A}_{MNP} \times FK

Calculons \mathcal{A}_{MNP}. Cela est plutôt simple car, d’après la question 3. b., le triangle MNP est rectangle en M :

Or \mathcal{A}_{MNP} = \dfrac{MN \times MP}{2}

Je rappelle par ailleurs que :

Soient A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B) deux points de l’espace.
AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}

Ici, cela donne :

MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2 + (z_N - z_M)^2} = \sqrt{(0 - 1)^2 + \left(\dfrac{1}{2} - 1\right)^2 + \left(1 - \dfrac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{16}} = \sqrt{\dfrac{21}{16}} = \dfrac{\sqrt{21}}{4}
MP = \sqrt{(x_P - x_M)^2 + (y_P - y_M)^2 + (z_P - z_M)^2} = \sqrt{(1 - 1)^2 + (0 - 1)^2 + \left(-\dfrac{5}{4} - \dfrac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{0 + 1 + 4} = \sqrt{5}

On en déduit :

Donc \mathcal{A}_{MNP} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{21}}{4} \times \sqrt{5}}{2} = \dfrac{\sqrt{105}}{8}

On peut alors conclure sur l’aire du tétraèdre MNPF :

D’où l’aire du tétraèdre MNPF vaut :
\mathcal{A}_{ABCD} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{\sqrt{105}}{8} \times \sqrt{\dfrac{27}{35}} = \dfrac{3}{8}.

Fin de l’épreuve du Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 4 Obl.


Annexe

Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 4 Obl 2015-po-exo4-3-annexe

Annexe 1


Bac S 2015 Maths Pondichéry Exercice 4 Obl 2015-po-exo4-4-annexe

Annexe 2

Exprimez vous!