Bac S 2015 Spé Maths Liban Exercice 4

Enoncé

Un fumeur décide d’arrêter de fumer. On choisit d’utiliser la modélisation suivante :

  • s’il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9 ;
  • s’il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6.

On appelle p_n la probabilité de ne pas fumer le n-ième jour après sa décision d’arrêter de fumer et q_n, la probabilité de fumer le n-ième jour après sa décision d’arrêter de fumer.

On suppose que p_0 = 0 et q_0 = 1.

Question 1

Calculer p_1 et q_1.

p_0 est la probabilité de ne pas fumer le « 0-ième » jour après sa décision d’arrêter de fumer. Elle vaut  0 : autrement dit, le fumeur a fumé le jour 0. En toute logique, q_0, qui représente la probabilité de fumer le « 0-ième » jour après sa décision d’arrêter de fumer vaut donc 1 :

p_0 = 0 et q_0 = 1 donc on considère que le fumeur a fumé le jour 0 après sa décision d’arrêter de fumer. D’après l’énoncé, la probabilité qu’il fume le lendemain vaut donc 0,6.

Autrement dit, q_1 = 0,6. De plus, p_n et q_n sont les probabilités d’événements contraires donc p_1 = 1 - q_1 = 1 - 0,6 = 0,4.


Question 2

On utilise un tableur pour automatiser le calcul des termes successifs des suites (p_n) et (q_n). Une copie d’écran de cette feuille de calcul est fournie ci-dessous :

Bac S 2015 Spé Maths Liban Exercice 4 2015-li-exo4s-1

Dans la colonne A figurent les valeurs de l’entier naturel n.
Quelles formules peut-on écrire dans les cellules B3 et C3 de façon qu’en les recopiant vers le bas, on obtienne respectivement dans les colonnes B et C les termes successifs des suites (p_n) et (q_n) ?

Ce que l’on cherche à avoir, c’est une formule qui nous donne les probabilités p_{n+1} et q_{n+1} à partir des probabilités p_n et q_n. Pour cela, construisons un arbre pondéré.

Introduisons l’événement « F_n : le fumeur fume le n-ième jour après sa décision d’arrêter de fumer. ». Tout d’abord, on sait que, par définition :

  • la probabilité que le fumeur ne fume pas le n-ième jour après sa décision d’arrêter de fumer vaut p_n ;
  • la probabilité que le fumeur fume le n-ième jour après sa décision d’arrêter de fumer vaut q_n.

Donc on peut commencer notre arbre pondéré de la façon suivante :

Bac S 2015 Spé Maths Liban Exercice 4 2015-li-exo4s-2

Complétons l’arbre en exploitant à nouveau l’énoncé :

s’il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9

Ca, ça donne :

Bac S 2015 Spé Maths Liban Exercice 4 2015-li-exo4s-3
Je vois d’où vient le 0,9 puisqu’il figure dans l’énoncé, mais d’où vient le 0,1 sur l’autre branche ?

Bonne question. En fait, il faut se souvenir que :

La somme des probabilités des branches qui partent d’un même sommet vaut 1.

Ici, cela donne donc que p(\overline{F_{n+1}}) + p(F_{n+1}) = 1 d’où p(F_{n+1}) = 1 - p(\overline{F_{n+1}}) = 1 - 0,9 = 0,1.

Exactement de la même façon, il faut maintenant exploiter ceci :

s’il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6

Cette fois-ci, cela donne :

Bac S 2015 Spé Maths Liban Exercice 4 2015-li-exo4s-4

Ca y est ! On a fini notre arbre pondéré !

OK super… Mais c’est quoi le rapport avec la question ?

Le rapport, il est le suivant : on cherche à calculer les probabilités p et q au rang n+1 connaissant leurs valeurs au rang n. Or, notre arbre pondéré permet justement de calculer p_{n+1} et q_{n+1} en fonction de p_n et q_n.

Je rappelle que p_{n+1} = p(\overline{F_{n+1}}), et ça, on peut le calculer facilement si on sait que :

Pour calculer la probabilité d’un événement à partir d’un arbre de probabilité, il suffit d’additionner les probabilités de chacun des chemins qui « mène » à cet événement.

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.

Ici, nous allons donc sommer les probabilités de deux chemins :

Bac S 2015 Spé Maths Liban Exercice 4 2015-li-exo4s-5

Donc, on peut écrire :

En exploitant l’arbre de probabilité, la probabilité de l’événement F_{n+1} vaut :
p(\overline{F_{n+1}}) = \underbrace{0,9 p_n}_{\text{chemin 1}} + \underbrace{0,4 q_n}_{\text{chemin 2}}.

Reste à faire le lien avec le tableur. On cherche à remplir les cellules B3 et C3 avec les bonnes formules. Ces cellules doivent contenir respectivement les valeurs de p_1 et q_1.

Or, on vient de montrer que p_1 = p(F_1) = 0,9 p_0 + 0,4 q_0. Sachant que les valeurs de p_0 et q_0 sont contenues respectivement dans les cellules B2 et C2. Autrement dit, p_1 = 0,9 B2 + 0,4 C2. Donc on peut écrire :

La cellule B3 doit contenir la formule « = 0,9*B2 + 0,4*C2 ».
Et la cellule C3 alors ?

C3 doit contenir la valeur de q_1. Or, on sait que q_1 = 1 - p_1 donc, puisque la valeur de p_1 est contenue dans la cellule B3, on a q_1 = 1 - B3 donc on peut écrire :

Quant à la cellule C3 doit contenir la formule = 1 - B3.

Question 3

On définit les matrices M et, pour tout entier naturel n, X_n par

M = \begin{pmatrix}0,9 & 0,4 \\0,1 & 0,6\end{pmatrix} et X_n = \begin{pmatrix}p_n \\q_n\end{pmatrix}.

On admet que X_{n+1} = M \times X_n et que, pour tout entier naturel n, X_n = M^n \times X_0.

On définit les matrices A et B par A = \begin{pmatrix}0,8 & 0,8 \\0,2 & 0,2\end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix}0,2 & -0,8 \\-0,2 & 0,8\end{pmatrix}.

a) Démontrer que M = A + 0,5B.

Allons-y doucement en calculant d’abord 0,5B :

0,5B = \begin{pmatrix}0,5 \times 0,2 & 0,5 \times (-0,8) \\0,5 \times (-0,2) & 0,5 \times 0,8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,1 & -0,4 \\-0,1 & 0,4\end{pmatrix}

On peut alors en déduire A + 0,5B :

Donc :
M = A + 0,5B = \begin{pmatrix}0,8 & 0,8 \\0,2 & 0,2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0,1 & -0,4 \\-0,1 & 0,4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,9 & 0,4 \\0,1 & 0,6\end{pmatrix} = M.

b) Vérifier que A^2 = A, et que A \times B = B \times A = \begin{pmatrix}0 & 0 \\0 & 0\end{pmatrix}.
On admet dans la suite que, pour tout entier naturel n strictement positif, A^n = A et B^n = B.

Après avoir vérifié que vous savez multiplier une matrice par un réel et que vous savez sommer deux matrices, le sujet cherche maintenant à savoir si vous savez les multiplier.

Calculons A^2 :

A^2 = \begin{pmatrix}0,8 & 0,8 \\0,2 & 0,2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0,8 & 0,8 \\0,2 & 0,2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,8 \times 0,8 + 0,8 \times 0,2 & 0,8 \times 0,8 + 0,8 \times 0,2 \\0,2 \times 0,8 + 0,2 \times 0,2 & 0,2 \times 0,8 + 0,2 \times 0,2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,8 & 0,8 \\0,2 & 0,2\end{pmatrix} = A.

Maintenant, calculons A \times B :

A \times B = \begin{pmatrix}0,8 & 0,8 \\0,2 & 0,2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0,2 & -0,8 \\-0,2 & 0,8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,8 \times 0,2 + 0,8 \times (-0,2) & 0,8 \times (-0,8) + 0,8 \times 0,8 \\0,2 \times 0,2 + 0,2 \times (-0,2) & 0,2 \times (-0,8) + 0,2 \times 0,8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\0 & 0\end{pmatrix}.
Eh bah voilà, comme en plus, A \times B = B \times A, on peut conclure la question !

Non, non, non et non !! Souvenez-vous que :

La multiplication de matrices n’est pas commutative ! Autrement dit, A \times B \neq B \times A dans le cas général !

Donc, pour prouver que B \times A vaut aussi \begin{pmatrix}0 & 0 \\0 & 0\end{pmatrix}, il faut le calculer :

B \times A = \begin{pmatrix}0,2 & -0,8 \\-0,2 & 0,8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0,8 & 0,8 \\0,2 & 0,2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,2 \times 0,8 + (-0,8) \times 0,2 & 0,2 \times 0,8 + (-0,8) \times 0,2 \\(-0,2) \times 0,8 + 0,8 \times 0,2 & (-0,2) \times 0,8 + 0,8 \times 0,2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\0 & 0\end{pmatrix}.

c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, M_n = A + 0,5^n B.

Ici, on va utiliser le raisonnement par récurrence.

Ah bon ? Mais comment sais-tu qu’il faut utiliser le raisonnement par récurrence ?

A vrai dire, on n’a pas vraiment le choix. On ne sait pas calculer M^n pour tout n entier naturel ! La seule façon de démontrer cela est donc de le supposer au rang n et de montrer que cela est alors vrai au rang n+1 : c’est l’objet du raisonnement par récurrence.

Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, M^n = A + 0,5^n B.

Profitons-en pour rappeler les étapes du raisonnement par récurrence.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Initialisation
Il s’agit de vérifier que la propriété est vraie au premier rang.

Ici, on nous demande de prouver l’égalité « pour tout entier naturel n ». Il faut donc commencer par n = 0. Si on nous l’avait demandé « pour tout entier naturel non nul », il aurait fallu commencer par n = 1.

Pour effectuer l’initialisation, vous aurez besoin du rappel de cours suivant :

Soit M une matrice carrée d’ordre n.
M^0 = I_nI_n est la matrice identité d’ordre n : I_n=\left( \begin{array}{ccc}1 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & 1\end{array}\right).
Initialisation
M^0 = I_2. De plus, A + 0,5^0 B = A + B = \begin{pmatrix}0,8 & 0,8 \\0,2 & 0,2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0,2 & -0,8 \\-0,2 & 0,8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,8 + 0,2 & 0,8 + (-0,8) \\0,2 + (-0,2) & 0,2 + 0,8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix} = I_2 donc la propriété est vérifiée pour n = 0.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Hérédité
Il s’agit de supposer que la propriété est vraie à un rang k (k appartenant au même ensemble que n, ici \mathbb{N}) et de montrer qu’elle est alors vraie au rang k + 1.
Hérédité
Soit k \in \mathbb{N}. Supposons que la propriété soit vraie au rang k, c’est-à-dire que M^k = A + 0,5^k B. Montrons alors qu’elle est vraie au rang k+1, c’est-à-dire que M^{k+1} = A + 0,5^{k+1} B.

A chaque fois que l’on veut prouver une hérédité, il faut se demander :

  • soit, comment à partir de l’hypothèse de récurrence qui fait intervenir la propriété au rang k, je peux faire apparaître la propriété au rang k+1 ;
  • soit, à partir des éléments relatifs au rang k+1, comment je peux faire apparaître les éléments relatifs au rang k et me servir alors de l’hypothèse de récurrence.

Ici, nous allons opter pour la seconde solution et partir de M^{k+1} et faire apparaître M^k sachant que nous disposons de deux éléments :

  • M^k = A + 0,5^k B d’après l’hypothèse de récurrence ;
  • M = A + 0,5B d’après la question 3. a).
M^{k+1} = M^k \times M = \underbrace{(A + 0,5^k B)}_{M^k} \underbrace{(A + 0,5B)}_{M} = A^2 + 0,5AB + 0,5^kBA + 0,5^{k+1}B^2.
Or, d’après la question 3. b), A^2 = A, AB = BA = \begin{pmatrix}0 & 0 \\0 & 0\end{pmatrix}, et B^2 = B donc :
M^{k+1} = A + 0,5^{k+1}B.
D’où la propriété est vérifiée au rang k+1.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclusion
Il s’agit de conclure en invoquant le principe de récurrence.
Conclusion
La propriété est vraie pour n = 0. En la supposant vraie au rang n = k, elle est encore vraie au rang n = k+1.
Ainsi, d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, M^n = A + 0,5^n B.

d) En déduire que, pour tout entier naturel n, p_n = 0,8 - 0,8 \times 0,5^n.

On vient de démontrer quelque chose sur la matrice M et l’énoncé nous demande d’en déduire quelque chose sur p_n. Il faut donc vous demander : « Quel est le lien entre la matrice M et p_n ? ». Et ce lien, il figure dans l’énoncé :

  • X_n = \begin{pmatrix}p_n \\q_n\end{pmatrix}
  • pour tout entier naturel n, X_n = M^n \times X_0

Toute l’idée est de traduire l’égalité des matrices X_n et M^n \times X_0 vis-à-vis de leurs coefficients :

Pour tout n entier naturel, on a :
X_n = M^n \times X_0 \Leftrightarrow X_n = (A + 0,5^n B)X_0 \Leftrightarrow X_n = AX_0 + 0,5^n BX_0

Calculons AX_0 + 0,5^n BX_0 :

Or :
AX_0 + 0,5^n BX_0 = \begin{pmatrix}0,8 & 0,8 \\0,2 & 0,2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p_0 \\q_0\end{pmatrix} + 0,5^n \begin{pmatrix}0,2 & -0,8 \\-0,2 & 0,8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p_0 \\q_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,8 & 0,8 \\0,2 & 0,2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} + 0,5^n \begin{pmatrix}0,2 & -0,8 \\-0,2 & 0,8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,8 \\0,2\end{pmatrix} + 0,5^n \begin{pmatrix}-0,8 \\0,8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,8 - 0,8 \times 0,5^n \\0,2 + 0,8 \times 0,5^n\end{pmatrix}

On en déduit :

Donc X_n = M^n \times X_0 \Leftrightarrow \begin{pmatrix}p_n \\q_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,8 - 0,8 \times 0,5^n \\0,2 + 0,8 \times 0,5^n\end{pmatrix}

Or :

Deux matrices sont égales si et seulement si leurs coefficients sont deux à deux égaux.

Ici, cela veut dire que :

  • le coefficient p_n est égal au coefficient 0,8 - 0,8 \times 0,5^n ;
  • le coefficient q_n est égal au coefficient 0,2 + 0,8 \times 0,5^n.

Donc on peut écrire :

... \Leftrightarrow \begin{cases}p_n = 0,8 - 0,8 \times 0,5^n \\q_n = 0,2 + 0,8 \times 0,5^n\end{cases}.

Donc, pour tout n entier naturel, p_n = 0,8 - 0,8 \times 0,5^n.

e) À long terme, peut-on affirmer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer ?

Qui dit « à long terme » dit « lorsque n tend vers l’infini »… Donc il s’agit de calculer la limite de (p_n) lorsque n tend vers l’infini. Pour affirmer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer, il faudrait que \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} p_n = 1. Pour calculer cette limite, on va avoir besoin du rappel de cours suivant :

Soit q \in \mathbb{R}.
\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~q^n =\begin{cases}+\infty ~\text{si q ~\textgreater ~1} \\1 ~\text{si q = 1} \\0 ~\text{si -1 \textless ~q \textless ~1}\end{cases}

Ici, cela donne :

-1 ~\textless 0,5 ~\textless ~1 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} 0,5^n = 0 d’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} p_n = 0,8.

On n’obtient pas 1 donc :

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} p_n \neq 1 donc on ne peut affirmer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer.

Fin de l’épreuve du Bac S 2015 Spé Maths Liban Exercice 4.

Exprimez vous!